Subgroups — #412308

Order 512.

1314 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23508	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1943	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1816	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10865	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2932	—	2	8	no	—
12	C₂×#435	—	2	4	no	—
13	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
22	#2043	—	2	2	no	—
23	#2042	—	2	4	no	—
24	#2041	—	2	2	no	—
25	#1943	—	2	4	no	—
26	#1816	—	2	8	no	—
27	#1815	—	2	8	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
32	#1728	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#131	—	2	4	no	—
35	C₂×#131	—	2	4	no	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	4	no	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#435	—	2	32	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	D₄	1	4	yes	complemented
64	C₂×#106	—	2	4	no	—
65	C₂×#106	—	2	2	no	—
66	#423	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	#417	—	2	8	no	—
69	#417	—	2	8	no	—
70	#417	—	2	8	no	—
71	#417	—	4	4	no	—
72	C₂×#103	—	2	4	no	—
73	C₂×#103	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	#408	—	2	4	no	—
77	#408	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×#97	—	2	4	no	—
80	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
81	#389	—	2	2	no	—
82	#389	—	2	2	no	—
83	#389	—	2	2	no	—
84	#389	—	2	2	no	—
85	C₂×#95	—	2	2	no	—
86	#343	—	2	8	no	—
87	#343	—	2	8	no	—
88	#341	—	4	2	no	—
89	#340	—	2	4	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	#131	—	2	16	no	—
114	#131	—	2	16	no	—
115	#131	—	4	8	no	—
116	#131	—	4	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	#127	—	2	4	no	—
149	#124	—	2	4	no	—
150	#124	—	2	4	no	—
151	#121	—	2	16	no	—
152	C₄×D₄	—	2	8	no	—
153	C₄×D₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	#108	—	4	8	no	—
175	#107	—	2	8	no	—
176	#106	—	4	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
178	#103	—	4	8	no	—
179	#103	—	4	8	no	—
180	#102	—	4	8	no	—
181	#102	—	4	8	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
183	#97	—	2	8	no	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	#95	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	2	4	no	—
189	#41	—	2	4	no	—
190	#41	—	2	4	no	—
191	#41	—	2	4	no	—
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	4	2	no	—
197	#41	—	4	2	no	—
198	#41	—	4	2	no	—
199	#41	—	4	2	no	—
200	#41	—	4	2	no	—
201	#41	—	4	2	no	—
202	#41	—	4	2	no	—
203	#41	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	8	2	no	—
223	C₂×D₄	—	8	2	no	—
224	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	16	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	16	no	—
274	C₂×C₈	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
280	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
281	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#525	1	2	yes	—
306	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#556	1	2	yes	—
309	Q₈	—	2	4	no	—
310	Q₈	—	2	4	no	—
311	Q₈	—	4	2	no	—
312	Q₈	—	4	2	no	—
313	D₄	—	2	4	no	—
314	D₄	—	2	4	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	—	4	2	no	—
321	D₄	—	8	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	16	4	no	—
345	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	4	4	no	—
365	C₈	—	8	4	no	—
366	C₈	#394	1	8	yes	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	8	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	#2415	1	2	yes	—
379	C₂²	#2485	1	2	yes	—
380	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#3068	1	2	yes	—
384	C₂²	#3069	1	2	yes	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	8	4	no	—
389	C₄	—	16	2	no	—
390	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#2416	1	2	yes	—
392	C₄	#2486	1	2	yes	—
393	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2562	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2616	1	1	yes	characteristic
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	8	4	no	—
399	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#28243	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#28244	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#28735	1	2	yes	—
403	C₂	#32944	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1943	C₂	semidirect
4. C₂×#1816	C₂	semidirect
5. C₂×#1815	C₂	semidirect
6. #11204	C₂	semidirect
7. #11192	C₂	semidirect
8. #10865	C₂	semidirect
63. C₂×#107	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2932	2
#23508	2
C₂×#1943	2
C₂×#1816	2
C₂×#1815	2
#11204	2
#11192	2
#10865	2