Subgroups — #412312

Order 512.

1488 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2045	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11238	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11163	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#442	—	2	4	no	—
12	C₂×#442	—	2	8	no	—
13	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2045	—	2	8	no	—
23	#1940	—	2	4	no	—
24	#1804	—	2	4	no	—
25	#1802	—	2	4	no	—
26	#1800	—	2	8	no	—
27	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
30	#1736	C₂²	1	4	yes	—
31	#1729	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
34	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	D₄	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#442	—	2	32	no	—
56	C₂×#106	—	2	2	no	—
57	C₂×#106	—	2	4	no	—
58	#424	—	2	4	no	—
59	#424	—	2	4	no	—
60	#423	—	2	4	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	#423	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	#418	—	2	8	no	—
68	#418	—	4	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	4	no	—
72	C₂×#102	—	2	8	no	—
73	C₂×#100	—	2	8	no	—
74	C₂×#100	—	2	8	no	—
75	C₂×#100	—	2	8	no	—
76	C₂×#97	—	2	4	no	—
77	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
78	#384	D₄	1	2	yes	—
79	#382	D₄	1	2	yes	—
80	#380	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	#343	—	2	8	no	—
83	#341	—	2	4	no	—
84	#341	—	4	2	no	—
85	#340	—	2	8	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	C₂⁵	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
108	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂×D₈	—	2	8	no	—
111	C₂×D₈	—	2	16	no	—
112	C₂×D₈	—	2	8	no	—
113	C₂×D₈	—	2	16	no	—
114	C₂×D₈	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
137	C₄×D₄	—	2	8	no	—
138	C₄×D₄	—	2	8	no	—
139	C₄×D₄	—	2	8	no	—
140	C₄×D₄	—	2	8	no	—
141	C₄×D₄	—	4	4	no	—
142	C₄×D₄	—	4	4	no	—
143	C₄×D₄	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	#117	—	2	2	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
168	#106	—	2	8	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
173	#102	—	2	16	no	—
174	#102	—	4	16	no	—
175	#100	—	4	16	no	—
176	#97	—	2	8	no	—
177	#95	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	—	4	2	no	—
183	C₂⁴	—	4	2	no	—
184	C₂⁴	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	8	4	no	—
186	C₂⁴	—	8	4	no	—
187	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	#121	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
242	D₈	—	2	32	no	—
243	M₁₆	—	4	4	no	—
244	M₁₆	—	4	4	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	#120	1	4	yes	—
279	C₄²	#121	1	4	yes	—
280	C₄²	#121	1	4	yes	—
281	C₄²	#124	1	4	yes	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	8	4	no	—
291	C₂³	—	8	8	no	—
292	C₂³	—	8	8	no	—
293	C₂³	—	8	4	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	—	8	8	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	—	8	4	no	—
299	C₂³	—	8	4	no	—
300	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
302	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	#552	1	2	yes	—
304	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
305	D₄	—	2	8	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	16	no	—
321	C₂×C₄	—	8	16	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	4	2	no	—
347	C₈	—	8	2	no	—
348	C₈	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	4	8	no	—
355	C₂²	—	8	8	no	—
356	C₂²	—	8	8	no	—
357	C₂²	—	8	8	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	—	8	8	no	—
360	C₂²	—	8	8	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2485	1	2	yes	—
365	C₂²	#2486	1	2	yes	—
366	C₂²	#2536	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3068	1	4	yes	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	#2415	1	2	yes	—
374	C₄	#2416	1	2	yes	—
375	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2562	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2616	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2847	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	8	8	no	—
382	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#23521	1	2	yes	—
384	C₂	#28220	1	2	yes	—
385	C₂	#28243	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21144	C₂	semidirect
4. #20646	C₂	semidirect
5. C₂×#1800	C₂	semidirect
6. #11238	C₂	semidirect
7. #11163	C₂	semidirect
8. #10845	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#442	2
C₂×#2045	2
#21144	2
#20646	2
C₂×#1800	2
#11238	2
#11163	2
#10845	2