Subgroups — #412315

Order 512.

1248 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23520	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1945	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20678	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1813	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11230	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11151	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#443	—	2	2	no	—
12	C₂×#443	—	2	2	no	—
13	C₂×#443	—	2	8	no	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
20	#2896	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2047	—	2	2	no	—
24	#2046	—	2	4	no	—
25	#2045	—	2	2	no	—
26	#1945	—	2	2	no	—
27	#1945	—	2	2	no	—
28	#1816	—	2	4	no	—
29	#1815	—	2	4	no	—
30	#1813	—	2	8	no	—
31	#1742	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
35	#1728	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#135	—	2	4	no	—
38	C₂×#135	—	2	4	no	—
39	C₂×#135	—	2	2	no	—
40	C₂×#135	—	2	2	no	—
41	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#131	—	2	4	no	—
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	2	2	no	—
47	C₂×#131	—	2	2	no	—
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	C₂×#131	—	2	4	no	—
50	C₂×#131	—	2	4	no	—
51	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#443	—	2	16	no	—
62	#443	—	2	16	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#108	—	2	2	no	—
65	C₂×#108	—	2	4	no	—
66	C₂×#108	—	2	4	no	—
67	C₂×#108	—	2	2	no	—
68	C₂×#108	—	2	2	no	—
69	C₂×#108	—	2	1	no	—
70	C₂×#108	—	2	1	no	—
71	C₂×#108	—	2	4	no	—
72	#427	—	2	1	no	—
73	#427	—	2	1	no	—
74	#427	—	2	1	no	—
75	#427	—	2	1	no	—
76	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
78	#424	—	2	4	no	—
79	#424	—	2	2	no	—
80	#424	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×#104	—	2	4	no	—
83	C₂×#104	—	2	4	no	—
84	C₂×#104	—	2	4	no	—
85	#419	—	2	4	no	—
86	#418	—	2	4	no	—
87	#417	—	2	8	no	—
88	#416	—	4	4	no	—
89	#413	—	2	8	no	—
90	#413	—	2	8	no	—
91	C₂×#101	—	2	4	no	—
92	C₂×#100	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	#343	—	2	8	no	—
97	#341	—	2	2	no	—
98	#341	—	2	2	no	—
99	#339	—	2	4	no	—
100	#338	—	2	8	no	—
101	#336	—	4	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#135	—	2	8	no	—
121	#135	—	2	16	no	—
122	#135	—	2	8	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	#131	—	2	8	no	—
131	#131	—	2	8	no	—
132	#131	—	2	8	no	—
133	#131	—	2	8	no	—
134	#131	—	4	4	no	—
135	#131	—	4	4	no	—
136	#131	—	4	4	no	—
137	#131	—	4	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
157	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
176	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	#108	—	2	8	no	—
191	#108	—	4	2	no	—
192	#108	—	4	2	no	—
193	#108	—	4	4	no	—
194	#108	—	4	4	no	—
195	#107	—	2	2	no	—
196	#107	—	2	2	no	—
197	#106	—	2	2	no	—
198	#106	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
200	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
201	#104	—	2	16	no	—
202	#103	—	4	8	no	—
203	#102	—	4	8	no	—
204	#101	—	4	8	no	—
205	#100	—	4	8	no	—
206	C₄×C₈	—	2	4	no	—
207	C₄×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	—	2	2	no	—
209	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	2	4	no	—
212	#41	—	2	4	no	—
213	#41	—	2	4	no	—
214	#41	—	2	4	no	—
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
265	Q₁₆	—	2	8	no	—
266	SD₁₆	—	2	16	no	—
267	D₈	—	2	8	no	—
268	M₁₆	—	2	4	no	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	8	no	—
273	M₁₆	—	4	8	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	4	no	—
276	M₁₆	—	4	4	no	—
277	M₁₆	—	4	4	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	4	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	8	no	—
290	C₂×C₈	—	4	8	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	4	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	4	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
305	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
306	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
307	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄²	—	2	2	no	—
315	C₄²	—	2	2	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₄²	—	4	2	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	2	4	no	—
320	C₂³	—	4	2	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	8	4	no	—
324	C₂³	#536	1	2	yes	—
325	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	#552	1	2	yes	—
329	Q₈	—	2	4	no	—
330	Q₈	—	2	4	no	—
331	Q₈	—	4	2	no	—
332	Q₈	—	4	2	no	—
333	D₄	—	2	4	no	—
334	D₄	—	2	4	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	4	2	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	4	4	no	—
375	C₈	—	8	2	no	—
376	C₈	—	8	4	no	—
377	C₈	#394	1	2	yes	—
378	C₈	#394	1	2	yes	—
379	C₈	#394	1	2	yes	—
380	C₈	#394	1	2	yes	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	#2415	1	2	yes	—
391	C₂²	#2486	1	2	yes	—
392	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#2562	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#2616	1	1	yes	characteristic
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	4	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#2416	1	2	yes	—
400	C₄	#2485	1	2	yes	—
401	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#2847	1	1	yes	characteristic
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	2	no	—
408	C₂	—	8	4	no	—
409	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#28249	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#555
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2537
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1945	C₂	semidirect
4. #20678	C₂	semidirect
5. C₂×#1813	C₂	semidirect
6. #11230	C₂	semidirect
7. #11151	C₂	semidirect
8. #10864	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
#23520	2
C₂×#1945	2
#20678	2
C₂×#1813	2
#11230	2
#11151	2
#10864	2