Subgroups — #412316

Order 512.

1238 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23520	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1946	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20678	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1813	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11230	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11151	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10865	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#444	—	2	4	no	—
12	C₂×#444	—	2	8	no	—
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
19	#2896	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2047	—	2	2	no	—
23	#2046	—	2	4	no	—
24	#2045	—	2	2	no	—
25	#1946	—	2	4	no	—
26	#1816	—	2	4	no	—
27	#1815	—	2	4	no	—
28	#1813	—	2	8	no	—
29	#1742	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
33	#1728	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
41	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	—	2	2	no	—
44	C₂×#131	—	2	2	no	—
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	2	2	no	—
47	C₂×#131	—	2	4	no	—
48	C₂×#131	—	2	4	no	—
49	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
50	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#444	—	2	32	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#108	—	2	2	no	—
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#108	—	2	2	no	—
65	C₂×#108	—	2	2	no	—
66	C₂×#108	—	2	2	no	—
67	C₂×#108	—	2	4	no	—
68	#427	—	2	2	no	—
69	#427	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
72	#424	—	2	4	no	—
73	#424	—	2	2	no	—
74	#424	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×#104	—	2	4	no	—
77	C₂×#104	—	2	4	no	—
78	C₂×#104	—	2	4	no	—
79	#419	—	2	4	no	—
80	#418	—	2	4	no	—
81	#417	—	2	8	no	—
82	#416	—	4	4	no	—
83	#413	—	2	8	no	—
84	#413	—	2	8	no	—
85	C₂×#101	—	2	4	no	—
86	C₂×#100	—	2	4	no	—
87	C₂×#97	—	2	4	no	—
88	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
89	#343	—	2	8	no	—
90	#341	—	2	2	no	—
91	#341	—	2	2	no	—
92	#339	—	2	4	no	—
93	#338	—	2	8	no	—
94	#336	—	4	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	#135	—	2	8	no	—
114	#135	—	2	16	no	—
115	#135	—	2	8	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×D₈	—	2	4	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	#131	—	2	8	no	—
124	#131	—	2	8	no	—
125	#131	—	2	8	no	—
126	#131	—	2	8	no	—
127	#131	—	4	4	no	—
128	#131	—	4	4	no	—
129	#131	—	4	4	no	—
130	#131	—	4	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	#108	—	2	8	no	—
182	#108	—	4	4	no	—
183	#108	—	4	4	no	—
184	#108	—	4	4	no	—
185	#107	—	2	4	no	—
186	#106	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
189	#104	—	2	16	no	—
190	#103	—	4	8	no	—
191	#102	—	4	8	no	—
192	#101	—	4	8	no	—
193	#100	—	4	8	no	—
194	#97	—	2	8	no	—
195	C₂⁴	—	2	2	no	—
196	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	2	4	no	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	4	2	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
252	Q₁₆	—	2	8	no	—
253	SD₁₆	—	2	16	no	—
254	D₈	—	2	8	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	M₁₆	—	4	8	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	4	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	—	4	8	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
284	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	#536	1	2	yes	—
308	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	#552	1	2	yes	—
312	Q₈	—	2	4	no	—
313	Q₈	—	2	4	no	—
314	Q₈	—	4	2	no	—
315	Q₈	—	4	2	no	—
316	D₄	—	2	4	no	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	4	no	—
320	D₄	—	4	4	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
354	C₈	—	2	2	no	—
355	C₈	—	2	2	no	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₈	—	8	2	no	—
358	C₈	—	8	4	no	—
359	C₈	#394	1	4	yes	—
360	C₈	#394	1	4	yes	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	#2415	1	2	yes	—
371	C₂²	#2486	1	2	yes	—
372	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2562	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#2616	1	1	yes	characteristic
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	8	2	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2416	1	2	yes	—
380	C₄	#2485	1	2	yes	—
381	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2847	1	1	yes	characteristic
384	C₂	—	2	1	no	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	8	4	no	—
389	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#28250	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#555
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2537
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1946	C₂	semidirect
4. #20678	C₂	semidirect
5. C₂×#1813	C₂	semidirect
6. #11230	C₂	semidirect
7. #11151	C₂	semidirect
8. #10865	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#444	2
#23520	2
C₂×#1946	2
#20678	2
C₂×#1813	2
#11230	2
#11151	2
#10865	2