Subgroups — #412693

Order 512.

1266 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2063	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#21260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11127	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2063	—	2	16	no	—
25	#1982	—	2	4	no	—
26	#1965	—	2	4	no	—
27	#1961	—	2	2	no	—
28	#1961	—	2	2	no	—
29	#1949	—	2	4	no	—
30	#1849	—	2	4	no	—
31	#1768	—	2	2	no	—
32	#1767	—	2	2	no	—
33	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
34	#1736	C₂²	1	2	yes	—
35	#1729	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#127	—	2	1	no	—
43	C₂×#127	—	2	1	no	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	—	2	2	no	—
46	C₂×#127	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	—	2	2	no	—
48	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#108	—	2	8	no	—
54	C₂×#108	—	2	8	no	—
55	C₂×#108	—	4	4	no	—
56	#428	—	2	8	no	—
57	C₂×#107	—	2	2	no	—
58	C₂×#106	—	2	2	no	—
59	#424	—	2	4	no	—
60	#424	D₄	1	8	yes	complemented
61	#423	—	2	2	no	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	#418	—	2	8	no	—
69	#418	—	4	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	8	no	—
71	C₂×#102	—	2	8	no	—
72	C₂×#102	—	2	8	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#100	—	2	8	no	—
76	C₂×#100	—	2	8	no	—
77	C₂×#100	—	4	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	—	2	1	no	—
83	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
86	#382	—	2	2	no	—
87	#382	—	2	1	no	—
88	#382	—	2	1	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	#376	—	2	1	no	—
92	C₂×#95	—	2	2	no	—
93	C₄³	—	2	1	no	—
94	#343	—	2	8	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	C₂⁵	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
112	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
140	#127	—	2	4	no	—
141	#127	—	2	4	no	—
142	#127	—	2	8	no	—
143	#127	—	4	2	no	—
144	#127	—	4	2	no	—
145	#127	—	4	4	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
168	#108	—	4	16	no	—
169	#107	—	4	4	no	—
170	#106	—	4	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	16	no	—
176	#102	—	4	8	no	—
177	#100	—	4	16	no	—
178	#97	—	2	4	no	—
179	#97	—	2	4	no	—
180	#97	—	4	2	no	—
181	C₄×C₈	—	4	2	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	4	2	no	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	4	2	no	—
187	C₂⁴	—	4	2	no	—
188	C₂⁴	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	—	8	8	no	—
191	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	8	no	—
212	C₂×D₄	—	8	8	no	—
213	C₂×D₄	—	8	8	no	—
214	C₂×D₄	—	8	16	no	—
215	C₂×D₄	—	8	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
222	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	—	2	8	no	—
238	M₁₆	—	2	4	no	—
239	M₁₆	—	4	2	no	—
240	M₁₆	—	4	4	no	—
241	M₁₆	—	4	2	no	—
242	M₁₆	—	4	4	no	—
243	M₁₆	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	#127	1	4	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	8	4	no	—
272	C₄²	#121	1	2	yes	—
273	C₄²	#121	1	2	yes	—
274	C₄²	#121	1	4	yes	—
275	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
276	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	8	8	no	—
282	C₂³	—	8	8	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	8	4	no	—
286	C₂³	—	8	8	no	—
287	C₂³	—	16	8	no	—
288	C₂³	—	16	8	no	—
289	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	#532	1	2	yes	—
293	C₂³	#542	1	2	yes	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	8	16	no	—
298	D₄	—	8	16	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	D₄	—	8	2	no	—
301	D₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	16	4	no	—
313	C₂×C₄	#396	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#396	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	8	no	—
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₈	—	8	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	8	no	—
343	C₂²	—	16	8	no	—
344	C₂²	—	16	8	no	—
345	C₂²	—	16	4	no	—
346	C₂²	—	16	4	no	—
347	C₂²	C₂×#396	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2452	1	2	yes	—
349	C₂²	#2512	1	2	yes	—
350	C₂²	#2620	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#3068	1	4	yes	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	—	8	2	no	—
357	C₄	—	16	2	no	—
358	C₄	#2416	1	2	yes	—
359	C₄	#2538	1	2	yes	—
360	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#2566	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	2	2	no	—
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	—	16	4	no	—
367	C₂	#15134	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#23602	1	2	yes	—
369	C₂	#29861	1	2	yes	—
370	C₂	#33193	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2063	C₂	semidirect
5. #21172	C₂	semidirect
6. C₂×#1849	C₂	semidirect
7. #20427	C₂	semidirect
8. #11127	C₂	semidirect
9. #10858	C₂	semidirect
60. #424	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2063	2
#21260	2
C₂×#1965	2
C₂×#1961	2
#21172	2
C₂×#1849	2
#20427	2
#11127	2
#10858	2