Subgroups — #412702

Order 512.

1228 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2069	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11139	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄⋊#338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2069	—	2	16	no	—
25	#1965	—	2	2	no	—
26	#1965	—	2	2	no	—
27	#1965	—	2	4	no	—
28	#1965	—	2	2	no	—
29	#1965	—	2	2	no	—
30	#1950	—	2	4	no	—
31	#1849	—	2	2	no	—
32	#1848	—	2	2	no	—
33	#1778	—	2	2	no	—
34	C₄×#108	—	2	2	no	—
35	#1738	C₂²	1	2	yes	—
36	#1738	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂³×D₄	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#127	—	2	1	no	—
48	C₂×#127	—	2	1	no	—
49	C₂×#127	—	2	1	no	—
50	C₂×#127	—	2	1	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#430	—	2	4	no	—
58	#430	—	2	8	no	—
59	#430	—	2	8	no	—
60	#430	—	4	4	no	—
61	#430	D₄	1	8	yes	complemented
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	—	2	8	no	—
64	C₂×#108	—	2	4	no	—
65	#423	—	2	2	no	—
66	#423	—	2	1	no	—
67	#423	—	2	1	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	—	2	1	no	—
70	#423	—	2	1	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	#423	D₄	1	2	yes	—
73	#423	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×#100	—	2	8	no	—
78	C₂×#100	—	2	8	no	—
79	C₂×#100	—	2	8	no	—
80	C₂×#100	—	2	8	no	—
81	C₂×#100	—	2	4	no	—
82	C₂×#100	—	2	8	no	—
83	C₂×#100	—	2	4	no	—
84	C₂×#100	—	2	8	no	—
85	C₂×#100	—	4	4	no	—
86	C₂×#100	—	4	4	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
94	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
95	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
96	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×#97	—	2	1	no	—
98	C₂×#97	—	2	1	no	—
99	C₂×#97	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	#341	—	2	4	no	—
104	#341	—	2	4	no	—
105	#338	—	2	8	no	—
106	C₂⁵	C₂×Q₈	1	4	yes	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	#127	—	4	1	no	—
166	#127	—	4	1	no	—
167	#127	—	4	2	no	—
168	#127	—	4	1	no	—
169	#127	—	4	1	no	—
170	#127	—	4	2	no	—
171	#127	—	4	2	no	—
172	#127	—	4	2	no	—
173	#127	—	4	2	no	—
174	#127	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	#108	—	2	16	no	—
185	#108	—	4	16	no	—
186	#108	—	4	8	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
193	#100	—	4	16	no	—
194	#100	—	4	8	no	—
195	#100	—	4	16	no	—
196	#100	—	4	8	no	—
197	#97	—	2	2	no	—
198	#97	—	2	2	no	—
199	#97	—	2	4	no	—
200	#97	—	4	1	no	—
201	#97	—	4	1	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	4	no	—
205	C₄×C₈	—	4	1	no	—
206	C₄×C₈	—	4	1	no	—
207	C₂⁴	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	2	4	no	—
210	C₂⁴	—	2	8	no	—
211	C₂⁴	—	2	8	no	—
212	C₂⁴	—	8	8	no	—
213	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	8	no	—
237	C₂×D₄	—	8	8	no	—
238	C₂×D₄	—	8	8	no	—
239	C₂×D₄	—	8	8	no	—
240	C₂×D₄	—	8	8	no	—
241	C₂×D₄	—	8	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	2	2	no	—
261	M₁₆	—	2	4	no	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	2	no	—
266	M₁₆	—	2	2	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	2	8	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	4	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	4	no	—
279	M₁₆	#121	1	8	yes	—
280	M₁₆	#127	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	4	no	—
297	C₂×C₈	—	4	4	no	—
298	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	#121	1	2	yes	—
301	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	#121	1	2	yes	—
304	C₄²	#121	1	2	yes	—
305	C₄²	#121	1	2	yes	—
306	C₄²	#126	1	2	yes	—
307	C₄²	#126	1	2	yes	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	8	8	no	—
315	C₂³	—	8	8	no	—
316	C₂³	—	8	8	no	—
317	C₂³	—	16	8	no	—
318	C₂³	—	16	8	no	—
319	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
323	C₂³	#554	1	2	yes	—
324	D₄	—	8	8	no	—
325	D₄	—	8	8	no	—
326	D₄	—	8	8	no	—
327	D₄	—	8	8	no	—
328	D₄	—	8	2	no	—
329	D₄	—	8	2	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	2	8	no	—
364	C₈	—	4	2	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₈	—	8	2	no	—
368	C₈	—	8	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	8	4	no	—
375	C₂²	—	8	8	no	—
376	C₂²	—	16	4	no	—
377	C₂²	—	16	8	no	—
378	C₂²	—	16	8	no	—
379	C₂²	—	16	4	no	—
380	C₂²	C₂×#396	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2452	1	2	yes	—
382	C₂²	#2538	1	2	yes	—
383	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2566	1	1	yes	characteristic
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	#2069	1	4	yes	complemented
389	C₄	#2416	1	2	yes	—
390	C₄	#2512	1	2	yes	—
391	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2620	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	2	1	no	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	16	4	no	—
400	C₂	#15134	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#2069	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#396
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2069	C₂	semidirect
5. #21177	C₂	semidirect
6. #20806	C₂	semidirect
7. C₄×#430	C₂	semidirect
8. #11139	C₂	semidirect
9. C₄⋊#338	C₂	semidirect
61. #430	D₄	semidirect
388. C₄	#2069	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2069	2
C₂×#1965	2
#21177	2
#20806	2
C₄×#430	2
#11139	2
C₄⋊#338	2