Subgroups — #412789

Order 512.

1018 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23733	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1815	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11355	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11107	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
21	#2097	—	2	4	no	—
22	#2092	—	2	4	no	—
23	#1951	—	2	8	no	—
24	#1846	—	2	2	no	—
25	#1846	—	2	2	no	—
26	#1815	—	2	8	no	—
27	#1753	—	2	2	no	—
28	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
29	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1728	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#131	—	2	2	no	—
37	C₂×#131	—	2	4	no	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#108	—	2	4	no	—
51	C₂×#108	—	2	4	no	—
52	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
53	#428	—	2	8	no	—
54	#428	—	4	4	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	—	2	4	no	—
57	C₂×#107	—	4	4	no	—
58	C₂×#106	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	2	no	—
60	C₂×#106	—	2	2	no	—
61	C₂×#106	—	2	4	no	—
62	C₂×#106	—	2	4	no	—
63	#417	—	2	8	no	—
64	#417	—	4	4	no	—
65	C₂×#103	—	2	4	no	—
66	C₂×#102	—	2	4	no	—
67	#408	—	2	2	no	—
68	#408	Q₈	1	4	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	#405	—	2	4	no	—
71	C₂×#97	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
76	#391	D₄	1	2	yes	—
77	#390	D₄	1	2	yes	—
78	#386	—	2	2	no	—
79	#382	—	2	4	no	—
80	#382	—	2	4	no	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂×#95	—	2	4	no	—
83	#343	—	2	8	no	—
84	#343	—	2	8	no	—
85	#341	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	1	no	—
90	C₂×#41	—	2	1	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
96	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	#131	—	2	16	no	—
105	#131	—	4	8	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	#108	—	2	16	no	—
157	#107	—	4	8	no	—
158	#107	—	4	8	no	—
159	#106	—	4	8	no	—
160	#106	—	4	4	no	—
161	#106	—	4	4	no	—
162	#103	—	4	8	no	—
163	#102	—	4	8	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
165	#97	—	4	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	4	no	—
167	C₄×C₈	—	2	4	no	—
168	C₄×C₈	—	4	2	no	—
169	#95	—	2	4	no	—
170	#95	—	4	8	no	—
171	C₂⁴	—	2	1	no	—
172	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
173	#41	—	2	4	no	—
174	#41	—	2	4	no	—
175	#41	—	2	4	no	—
176	#41	—	2	4	no	—
177	#41	—	4	2	no	—
178	#41	—	4	2	no	—
179	#41	—	4	2	no	—
180	#41	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	1	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
207	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
218	M₁₆	—	2	4	no	—
219	M₁₆	—	2	8	no	—
220	M₁₆	—	2	8	no	—
221	M₁₆	—	2	4	no	—
222	M₁₆	—	4	2	no	—
223	M₁₆	—	4	4	no	—
224	M₁₆	—	4	2	no	—
225	M₁₆	—	4	4	no	—
226	M₁₆	—	4	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	1	no	—
236	C₂×C₈	—	4	1	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	1	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	8	no	—
241	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
245	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
248	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	4	1	no	—
261	C₄²	—	4	1	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	4	1	no	—
265	C₂³	—	4	1	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#550	1	2	yes	—
271	C₂³	#552	1	2	yes	—
272	Q₈	—	2	4	no	—
273	Q₈	—	4	2	no	—
274	D₄	—	2	4	no	—
275	D₄	—	4	4	no	—
276	D₄	—	4	4	no	—
277	D₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	1	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	8	no	—
293	C₂×C₄	—	16	4	no	—
294	C₂×C₄	—	16	4	no	—
295	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	4	2	no	—
315	C₈	—	4	8	no	—
316	C₈	—	4	2	no	—
317	C₈	#399	1	4	yes	—
318	C₈	#399	1	4	yes	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	#2423	1	2	yes	—
328	C₂²	#2441	1	2	yes	—
329	C₂²	#2486	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#3067	1	4	yes	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	8	2	no	—
336	C₄	—	16	4	no	—
337	C₄	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#2422	1	2	yes	—
339	C₄	#2440	1	2	yes	—
340	C₄	#2487	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
343	C₂	—	2	2	no	—
344	C₂	—	2	2	no	—
345	C₂	—	8	2	no	—
346	C₂	#15135	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#27673	1	2	yes	—
348	C₂	#28495	1	2	yes	—
349	C₂	#33221	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1951	C₂	semidirect
3. C₂×#1846	C₂	semidirect
6. #11355	C₂	semidirect
7. #11331	C₂	semidirect
9. #10864	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23733	2
C₂×#1951	2
C₂×#1846	2
C₂×#1815	2
#20383	2
#11355	2
#11331	2
#11107	2
#10864	2