Subgroups — #412790

Order 512.

1062 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23734	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1815	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11330	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11106	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	#2096	—	2	2	no	—
22	#2095	—	2	2	no	—
23	#2094	—	2	2	no	—
24	#2093	—	2	2	no	—
25	#1951	—	2	8	no	—
26	#1844	—	2	2	no	—
27	#1844	—	2	2	no	—
28	#1815	—	2	8	no	—
29	#1753	—	2	2	no	—
30	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1728	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#108	—	2	4	no	—
54	C₂×#108	—	2	4	no	—
55	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
56	#428	—	2	8	no	—
57	#428	—	4	4	no	—
58	C₂×#107	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	—	2	4	no	—
64	C₂×#106	—	2	4	no	—
65	C₂×#106	—	4	4	no	—
66	#417	—	2	8	no	—
67	#417	—	4	4	no	—
68	C₂×#103	—	2	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	#408	—	2	2	no	—
71	#408	Q₈	1	4	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
73	#405	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	#391	D₄	1	2	yes	—
80	#390	D₄	1	2	yes	—
81	#386	—	2	2	no	—
82	#384	—	2	2	no	—
83	#384	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	4	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	#343	—	2	8	no	—
87	#343	—	2	8	no	—
88	#341	—	2	4	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	1	no	—
94	C₂×#41	—	2	1	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	#131	—	2	16	no	—
109	#131	—	4	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
144	#117	—	2	2	no	—
145	#117	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	#108	—	2	16	no	—
164	#107	—	4	8	no	—
165	#106	—	4	8	no	—
166	#106	—	4	8	no	—
167	#106	—	4	4	no	—
168	#106	—	4	4	no	—
169	#103	—	4	8	no	—
170	#102	—	4	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
172	#97	—	4	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	—	2	4	no	—
175	C₄×C₈	—	4	2	no	—
176	#95	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	1	no	—
178	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	2	4	no	—
181	#41	—	2	4	no	—
182	#41	—	2	4	no	—
183	#41	—	4	2	no	—
184	#41	—	4	2	no	—
185	#41	—	4	2	no	—
186	#41	—	4	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	1	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
213	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
224	M₁₆	—	2	4	no	—
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	—	2	4	no	—
228	M₁₆	—	4	2	no	—
229	M₁₆	—	4	4	no	—
230	M₁₆	—	4	2	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	4	8	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	—	4	1	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	1	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	8	no	—
247	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
251	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
254	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	4	1	no	—
269	C₄²	—	4	1	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	4	1	no	—
273	C₂³	—	4	1	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	#550	1	2	yes	—
279	C₂³	#552	1	2	yes	—
280	Q₈	—	2	4	no	—
281	Q₈	—	4	2	no	—
282	D₄	—	2	4	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	8	no	—
300	C₂×C₄	—	16	4	no	—
301	C₂×C₄	—	16	4	no	—
302	C₂×C₄	#471	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₈	—	4	2	no	—
323	C₈	—	4	8	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	#399	1	4	yes	—
326	C₈	#399	1	4	yes	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	#2423	1	2	yes	—
336	C₂²	#2441	1	2	yes	—
337	C₂²	#2486	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#471	1	4	yes	—
341	C₄	—	2	8	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	—	16	4	no	—
345	C₄	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#2422	1	2	yes	—
347	C₄	#2440	1	2	yes	—
348	C₄	#2487	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
351	C₂	—	2	2	no	—
352	C₂	—	2	2	no	—
353	C₂	—	8	2	no	—
354	C₂	#15135	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#27672	1	2	yes	—
356	C₂	#28494	1	2	yes	—
357	C₂	#33220	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1951	C₂	semidirect
3. C₂×#1844	C₂	semidirect
6. #11354	C₂	semidirect
7. #11330	C₂	semidirect
9. #10864	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23734	2
C₂×#1951	2
C₂×#1844	2
C₂×#1815	2
#20383	2
#11354	2
#11330	2
#11106	2
#10864	2