Subgroups — #412792

Order 512.

1062 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23734	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1816	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11107	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	#2096	—	2	2	no	—
22	#2095	—	2	2	no	—
23	#2094	—	2	2	no	—
24	#2093	—	2	2	no	—
25	#1952	—	2	8	no	—
26	#1845	—	2	2	no	—
27	#1845	—	2	2	no	—
28	#1816	—	2	8	no	—
29	#1753	—	2	2	no	—
30	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1728	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#108	—	2	4	no	—
54	C₂×#108	—	2	4	no	—
55	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
56	#428	—	2	8	no	—
57	#428	—	4	4	no	—
58	C₂×#107	—	2	4	no	—
59	C₂×#107	—	2	4	no	—
60	C₂×#107	—	2	2	no	—
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	—	2	4	no	—
63	C₂×#107	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	—	4	4	no	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	#417	—	2	8	no	—
67	#417	—	4	4	no	—
68	C₂×#103	—	2	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	#408	—	2	2	no	—
71	#408	Q₈	1	4	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
73	#405	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	#391	D₄	1	1	yes	characteristic
80	#391	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#390	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#390	D₄	1	1	yes	characteristic
83	#386	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#384	—	2	2	no	—
86	#384	—	2	4	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	#343	—	2	8	no	—
89	#343	—	2	8	no	—
90	#341	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	1	no	—
96	C₂×#41	—	2	1	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#131	—	2	16	no	—
111	#131	—	4	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	#108	—	2	16	no	—
169	#107	—	4	8	no	—
170	#107	—	4	8	no	—
171	#107	—	4	4	no	—
172	#107	—	4	4	no	—
173	#106	—	4	8	no	—
174	#103	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	8	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
177	#97	—	4	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	4	no	—
179	C₄×C₈	—	2	4	no	—
180	C₄×C₈	—	4	2	no	—
181	#95	—	2	2	no	—
182	#95	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	—	2	1	no	—
184	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	2	4	no	—
186	#41	—	2	4	no	—
187	#41	—	2	4	no	—
188	#41	—	2	4	no	—
189	#41	—	4	2	no	—
190	#41	—	4	2	no	—
191	#41	—	4	2	no	—
192	#41	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	1	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
221	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
233	M₁₆	—	2	4	no	—
234	M₁₆	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	2	8	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	—	4	2	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	2	no	—
240	M₁₆	—	4	4	no	—
241	M₁₆	—	4	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	8	no	—
256	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
260	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
263	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	—	4	1	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	4	1	no	—
286	C₂³	—	4	1	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	#550	1	2	yes	—
293	C₂³	#552	1	2	yes	—
294	Q₈	—	2	4	no	—
295	Q₈	—	4	2	no	—
296	D₄	—	2	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	—	16	4	no	—
319	C₂×C₄	—	16	4	no	—
320	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#473	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
340	C₈	—	2	4	no	—
341	C₈	—	4	2	no	—
342	C₈	—	4	8	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	#399	1	4	yes	—
345	C₈	#399	1	4	yes	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	8	1	no	—
355	C₂²	—	8	1	no	—
356	C₂²	#2423	1	2	yes	—
357	C₂²	#2441	1	2	yes	—
358	C₂²	#2486	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#473	1	2	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	8	1	no	—
367	C₄	—	8	1	no	—
368	C₄	—	16	4	no	—
369	C₄	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2422	1	2	yes	—
371	C₄	#2440	1	2	yes	—
372	C₄	#2487	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	8	2	no	—
378	C₂	#15135	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#27675	1	2	yes	—
380	C₂	#28497	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#28498	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#33222	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1952	C₂	semidirect
3. C₂×#1845	C₂	semidirect
6. #11354	C₂	semidirect
7. #11331	C₂	semidirect
9. #10864	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23734	2
C₂×#1952	2
C₂×#1845	2
C₂×#1816	2
#20383	2
#11354	2
#11331	2
#11107	2
#10864	2