Subgroups — #412822

Order 512.

1036 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2098	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20654	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11374	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11112	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	2	yes	—
21	#2098	—	2	8	no	—
22	#1939	—	2	8	no	—
23	#1849	—	2	2	no	—
24	#1848	—	2	2	no	—
25	#1806	—	2	8	no	—
26	#1750	—	2	2	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
28	#1733	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
31	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1729	C₂²	1	4	yes	—
33	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₄×#41	—	2	4	no	—
41	C₄×#41	—	2	2	no	—
42	C₄×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
46	C₂×#117	—	2	1	no	—
47	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#430	—	2	4	no	—
52	#430	—	2	4	no	—
53	#430	—	4	4	no	—
54	C₂×#108	—	2	4	no	—
55	C₂×#108	—	2	4	no	—
56	#424	—	2	8	no	—
57	#424	—	4	4	no	—
58	#423	—	2	4	no	—
59	#423	—	2	2	no	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
63	#421	—	2	8	no	—
64	#421	—	4	4	no	—
65	C₂×#104	—	2	8	no	—
66	#408	—	2	2	no	—
67	#408	—	2	2	no	—
68	#408	D₄	1	4	yes	—
69	#408	Q₈	1	4	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	#384	—	2	2	no	—
80	#382	—	2	2	no	—
81	#380	—	2	4	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
83	#339	—	2	8	no	—
84	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
85	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	8	no	—
89	C₂×#41	—	2	1	no	—
90	C₂×#41	—	2	1	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
117	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄×D₄	—	2	4	no	—
134	C₄×D₄	—	2	4	no	—
135	C₄×D₄	—	4	4	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	#117	—	4	2	no	—
144	#117	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
164	#108	—	4	8	no	—
165	#108	—	4	8	no	—
166	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
169	#104	—	4	16	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
172	#97	—	2	4	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	4	2	no	—
176	C₄×C₈	—	4	2	no	—
177	#95	—	2	8	no	—
178	C₂⁴	—	2	1	no	—
179	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
180	#41	—	2	4	no	—
181	#41	—	2	4	no	—
182	#41	—	2	4	no	—
183	#41	—	2	4	no	—
184	#41	—	4	2	no	—
185	#41	—	4	2	no	—
186	#41	—	4	2	no	—
187	#41	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	1	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
227	M₁₆	—	2	4	no	—
228	M₁₆	—	2	4	no	—
229	M₁₆	—	2	4	no	—
230	M₁₆	—	2	4	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	M₁₆	—	4	4	no	—
234	M₁₆	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	1	no	—
244	C₂×C₈	—	4	1	no	—
245	C₂×C₈	—	4	1	no	—
246	C₂×C₈	—	4	1	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄²	—	2	8	no	—
264	C₄²	—	2	8	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	—	4	1	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
271	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	#123	1	2	yes	—
274	C₄²	#127	1	2	yes	—
275	C₄²	#127	1	2	yes	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	1	no	—
280	C₂³	—	4	1	no	—
281	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
283	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	#542	1	2	yes	—
286	Q₈	—	2	4	no	—
287	Q₈	—	4	2	no	—
288	D₄	—	2	4	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	4	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	#399	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#399	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#399	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
330	C₈	—	2	4	no	—
331	C₈	—	2	4	no	—
332	C₈	—	4	2	no	—
333	C₈	—	4	2	no	—
334	C₈	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2422	1	2	yes	—
346	C₂²	#2423	1	2	yes	—
347	C₂²	#2628	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	8	8	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	#2098	1	4	yes	complemented
355	C₄	#2440	1	2	yes	—
356	C₄	#2441	1	2	yes	—
357	C₄	#2486	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2487	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	2	no	—
365	C₂	—	8	2	no	—
366	C₂	#15135	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#2098	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#399
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21143	C₂	semidirect
3. #20806	C₂	semidirect
6. #11374	C₂	semidirect
7. #11336	C₂	semidirect
9. #10837	C₂	semidirect
354. C₄	#2098	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2098	2
#21143	2
#20806	2
#20654	2
C₄×#408	2
#11374	2
#11336	2
#11112	2
#10837	2