Subgroups — #412848

Order 512.

1436 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2071	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#1970	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#15136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#397	—	2	4	no	—
18	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	#2071	—	2	8	no	—
22	#1970	—	2	4	no	—
23	#1970	—	2	8	no	—
24	#1845	—	2	4	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1439	—	2	4	no	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
33	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
34	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×D₈	D₄	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#107	—	2	4	no	—
50	C₂×#107	—	2	4	no	—
51	C₂×#107	—	2	4	no	—
52	C₂×#107	—	2	2	no	—
53	C₂×#107	—	2	4	no	—
54	C₂×#107	—	2	4	no	—
55	C₂×#107	—	4	2	no	—
56	C₂×#107	—	4	2	no	—
57	C₂×#102	—	2	8	no	—
58	C₂×#102	—	2	8	no	—
59	C₂×#102	—	2	4	no	—
60	C₂×#102	—	2	8	no	—
61	C₂×#102	—	4	4	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
67	#397	—	4	16	no	—
68	#390	—	2	8	no	—
69	#390	—	2	4	no	—
70	#390	—	2	4	no	—
71	#390	—	4	4	no	—
72	#384	—	2	4	no	—
73	#384	—	2	4	no	—
74	C₂×#95	—	2	8	no	—
75	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
77	#340	—	2	8	no	—
78	#336	—	2	4	no	—
79	#336	D₄	1	4	yes	—
80	C₂⁵	—	2	2	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂×D₈	—	2	8	no	—
98	C₂×D₈	—	2	16	no	—
99	C₂×D₈	—	4	4	no	—
100	C₂×D₈	—	4	4	no	—
101	C₂×D₈	—	4	8	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	#107	—	4	8	no	—
151	#107	—	4	8	no	—
152	#107	—	4	4	no	—
153	#102	—	4	16	no	—
154	#102	—	4	8	no	—
155	C₄×C₈	—	2	8	no	—
156	C₄×C₈	—	4	8	no	—
157	#95	—	2	4	no	—
158	#95	—	4	16	no	—
159	#95	D₈	1	8	yes	complemented
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	4	2	no	—
162	C₂⁴	—	4	4	no	—
163	C₂⁴	—	4	4	no	—
164	C₂⁴	—	4	2	no	—
165	C₂⁴	—	4	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	8	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
222	D₈	—	4	16	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
237	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	#126	1	8	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	8	8	no	—
264	C₂³	—	8	8	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	4	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	8	no	—
273	C₂³	—	8	8	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	#532	1	2	yes	—
278	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#547	1	2	yes	—
280	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
283	C₂³	#576	1	2	yes	—
284	C₂³	#578	1	2	yes	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	8	2	no	—
289	D₄	—	8	2	no	—
290	D₄	—	8	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	#397	1	8	yes	complemented
336	C₂²	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	—	8	16	no	—
340	C₂²	—	16	2	no	—
341	C₂²	—	16	2	no	—
342	C₂²	—	16	8	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	#2422	1	2	yes	—
346	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2512	1	2	yes	—
348	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3169	1	4	yes	—
355	C₂²	#3175	1	4	yes	—
356	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
357	C₂²	#3283	1	2	yes	—
358	C₂²	#3334	1	4	yes	—
359	C₂²	#3339	1	4	yes	—
360	C₂²	#3391	1	2	yes	—
361	C₂²	#3393	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	16	4	no	—
366	C₄	—	16	2	no	—
367	C₄	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2422	1	2	yes	—
369	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2512	1	2	yes	—
371	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2640	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	16	4	no	—
374	C₂	#15136	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#25034	1	4	yes	—
376	C₂	#27929	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#27932	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#28014	1	4	yes	—
379	C₂	#28458	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#28459	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#33241	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#33247	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₄×#95 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2071	C₂	semidirect
4. C₂×#1845	C₂	semidirect
5. #15136	C₂	semidirect
6. #11123	C₂	semidirect
7. #10862	C₂	semidirect
8. C₈×#95	C₂	semidirect
159. #95	D₈	semidirect
335. C₈	#397	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2071	2
C₂×#1970	2
C₂×#1845	2
#15136	2
#11123	2
#10862	2
C₈×#95	2