Subgroups — #412862

Order 512.

965 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23649	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#21248	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11110	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11103	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10699	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2905	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
15	#2896	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
17	#2879	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2080	—	2	16	no	—
21	#1979	—	2	2	no	—
22	#1978	—	2	2	no	—
23	#1977	—	2	4	no	—
24	#1975	—	2	2	no	—
25	#1974	—	2	2	no	—
26	#1849	—	2	2	no	—
27	#1848	—	2	2	no	—
28	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
29	#1738	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#135	—	2	1	no	—
35	C₂×#135	—	2	1	no	—
36	C₂×#135	—	2	1	no	—
37	C₂×#135	—	2	1	no	—
38	C₂×#135	—	2	2	no	—
39	C₂×#135	—	2	2	no	—
40	C₂×#135	—	2	2	no	—
41	C₂×#135	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
44	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#430	—	4	4	no	—
53	C₂×#108	—	2	2	no	—
54	C₂×#108	—	2	4	no	—
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	C₂×#108	—	2	1	no	—
57	C₂×#108	—	2	1	no	—
58	C₂×#108	—	2	2	no	—
59	C₂×#108	—	2	2	no	—
60	C₂×#108	—	2	2	no	—
61	C₂×#108	—	2	2	no	—
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	—	2	2	no	—
64	#424	—	2	8	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#421	—	2	8	no	—
67	C₂×#104	—	2	4	no	—
68	#419	—	2	4	no	—
69	#418	—	2	4	no	—
70	#417	—	4	4	no	—
71	#416	—	2	8	no	—
72	#413	—	2	8	no	—
73	#413	—	4	4	no	—
74	C₂×#101	—	2	4	no	—
75	C₂×#100	—	2	4	no	—
76	#408	—	2	4	no	—
77	#408	—	2	4	no	—
78	#407	—	2	4	no	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	#405	—	2	2	no	—
82	#405	—	2	2	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	#405	—	2	2	no	—
85	C₂×#97	—	2	2	no	—
86	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
89	#344	—	2	8	no	—
90	#341	—	2	8	no	—
91	#338	—	2	2	no	—
92	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
93	H(3,ℤ/4)	D₄	1	8	yes	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	#135	—	4	1	no	—
108	#135	—	4	1	no	—
109	#135	—	4	2	no	—
110	#135	—	4	1	no	—
111	#135	—	4	1	no	—
112	#135	—	4	2	no	—
113	#135	—	4	2	no	—
114	#135	—	4	2	no	—
115	#135	—	4	2	no	—
116	#135	—	4	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×D₈	—	2	1	no	—
126	C₂×D₈	—	2	1	no	—
127	C₂×D₈	—	2	2	no	—
128	C₂×D₈	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
148	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	#108	—	4	8	no	—
176	#108	—	4	2	no	—
177	#108	—	4	2	no	—
178	#108	—	4	2	no	—
179	#108	—	4	2	no	—
180	#108	—	4	1	no	—
181	#108	—	4	1	no	—
182	#108	—	4	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
184	#104	—	4	8	no	—
185	#103	—	4	8	no	—
186	#102	—	4	8	no	—
187	#101	—	4	8	no	—
188	#100	—	4	8	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
190	#97	—	2	4	no	—
191	#97	—	4	2	no	—
192	#97	—	4	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	4	2	no	—
196	C₄×C₈	—	4	2	no	—
197	C₂⁴	—	2	2	no	—
198	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
199	#41	—	4	2	no	—
200	#41	—	4	2	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	2	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	4	no	—
206	#41	—	4	4	no	—
207	#41	—	4	4	no	—
208	#41	—	4	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
238	Q₁₆	—	4	1	no	—
239	Q₁₆	—	4	1	no	—
240	Q₁₆	—	4	2	no	—
241	SD₁₆	—	4	2	no	—
242	SD₁₆	—	4	2	no	—
243	SD₁₆	—	4	4	no	—
244	D₈	—	4	1	no	—
245	D₈	—	4	1	no	—
246	D₈	—	4	2	no	—
247	M₁₆	—	2	4	no	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	2	4	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
282	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	#127	1	4	yes	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	8	1	no	—
302	C₂³	—	16	2	no	—
303	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#542	1	2	yes	—
305	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	#547	1	2	yes	—
307	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	4	2	no	—
309	Q₈	—	4	4	no	—
310	Q₈	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	8	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	4	4	no	—
346	C₈	—	8	2	no	—
347	C₈	—	8	4	no	—
348	C₈	#397	1	1	yes	characteristic
349	C₈	#397	1	1	yes	characteristic
350	C₈	#397	1	2	yes	—
351	C₈	#397	1	1	yes	characteristic
352	C₈	#397	1	1	yes	characteristic
353	C₈	#397	1	2	yes	—
354	C₂²	—	4	1	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	1	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	16	4	no	—
362	C₂²	#2422	1	2	yes	—
363	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2512	1	2	yes	—
365	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#2640	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2422	1	2	yes	—
372	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2512	1	2	yes	—
374	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	16	2	no	—
382	C₂	#15136	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2858
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#15136
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23649	C₂	semidirect
4. #20807	C₂	semidirect
5. #11110	C₂	semidirect
6. #11103	C₂	semidirect
7. #10873	C₂	semidirect
8. #10699	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23649	2
#21248	2
#21240	2
#20807	2
#11110	2
#11103	2
#10873	2
#10699	2