Subgroups — #412863

Order 512.

1048 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#23639	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21229	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11079	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2311	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
20	#2078	—	2	8	no	—
21	#2076	—	2	4	no	—
22	#2075	—	2	4	no	—
23	#1974	—	2	4	no	—
24	#1972	—	2	2	no	—
25	#1971	—	2	2	no	—
26	#1968	—	2	4	no	—
27	#1846	—	2	4	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1736	C₂²	1	4	yes	—
31	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#135	—	2	2	no	—
35	C₂×#135	—	2	2	no	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	—	2	4	no	—
38	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
40	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#108	—	2	2	no	—
49	C₂×#108	—	2	4	no	—
50	C₂×#107	—	2	2	no	—
51	C₂×#107	—	2	2	no	—
52	C₂×#107	—	2	4	no	—
53	C₂×#107	—	2	4	no	—
54	C₂×#106	—	2	4	no	—
55	C₂×#106	—	2	2	no	—
56	C₂×#106	—	2	2	no	—
57	C₂×#106	—	2	4	no	—
58	C₂×#104	—	2	4	no	—
59	C₂×#104	—	2	8	no	—
60	#417	—	2	8	no	—
61	#417	—	4	4	no	—
62	C₂×#103	—	2	4	no	—
63	C₂×#102	—	2	4	no	—
64	#408	—	2	4	no	—
65	#408	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	#405	—	2	4	no	—
69	#405	—	2	4	no	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
74	#391	—	2	4	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#386	—	4	4	no	—
77	#382	—	2	4	no	—
78	#382	—	4	2	no	—
79	#380	—	2	8	no	—
80	C₂×#95	—	4	2	no	—
81	#343	—	2	8	no	—
82	#341	D₄	1	4	yes	—
83	#340	—	2	8	no	—
84	#340	D₄	1	4	yes	—
85	#339	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	—	2	4	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	#135	—	4	4	no	—
102	#135	—	4	4	no	—
103	#135	—	4	8	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×D₈	—	2	2	no	—
109	C₂×D₈	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
133	#117	—	2	2	no	—
134	#117	—	2	2	no	—
135	#117	—	2	2	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
151	#108	—	4	4	no	—
152	#107	—	4	4	no	—
153	#107	—	4	4	no	—
154	#106	—	4	4	no	—
155	#106	—	4	4	no	—
156	#104	—	4	8	no	—
157	#103	—	4	8	no	—
158	#102	—	4	8	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
161	#97	—	4	4	no	—
162	C₄×C₈	—	2	8	no	—
163	C₄×C₈	—	4	4	no	—
164	#95	—	4	8	no	—
165	#95	—	4	8	no	—
166	C₂⁴	—	2	2	no	—
167	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
168	#41	—	4	2	no	—
169	#41	—	4	2	no	—
170	#41	—	4	2	no	—
171	#41	—	4	4	no	—
172	#41	—	4	4	no	—
173	#41	—	4	2	no	—
174	#41	—	4	4	no	—
175	#41	—	4	4	no	—
176	#41	—	4	4	no	—
177	#41	—	4	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
213	Q₁₆	—	4	4	no	—
214	SD₁₆	—	4	8	no	—
215	D₈	—	4	4	no	—
216	M₁₆	—	2	4	no	—
217	M₁₆	—	2	4	no	—
218	M₁₆	—	4	2	no	—
219	M₁₆	—	4	2	no	—
220	M₁₆	—	4	2	no	—
221	M₁₆	—	4	2	no	—
222	M₁₆	—	4	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	#126	1	8	yes	—
239	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	16	8	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	4	2	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	#124	1	4	yes	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	#542	1	2	yes	—
261	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	#553	1	2	yes	—
264	Q₈	—	4	2	no	—
265	Q₈	—	4	4	no	—
266	Q₈	—	4	2	no	—
267	D₄	—	4	2	no	—
268	D₄	—	4	4	no	—
269	D₄	—	4	2	no	—
270	D₄	—	8	2	no	—
271	D₄	—	8	2	no	—
272	D₄	—	8	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂×C₄	—	8	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	8	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	16	4	no	—
287	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
305	C₈	—	2	4	no	—
306	C₈	—	4	4	no	—
307	C₈	—	8	2	no	—
308	C₈	#397	1	4	yes	—
309	C₈	#397	1	4	yes	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	8	2	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	2	no	—
317	C₂²	—	8	8	no	—
318	C₂²	#2422	1	2	yes	—
319	C₂²	#2504	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#2512	1	2	yes	—
321	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2640	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#3290	1	4	yes	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	8	2	no	—
326	C₄	—	8	4	no	—
327	C₄	—	16	4	no	—
328	C₄	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#2422	1	2	yes	—
330	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
331	C₄	#2512	1	2	yes	—
332	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
334	C₂	—	2	1	no	—
335	C₂	—	2	1	no	—
336	C₂	—	2	2	no	—
337	C₂	—	16	2	no	—
338	C₂	#15136	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#25050	1	4	yes	—
340	C₂	#28503	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2078	C₂	semidirect
2. #23639	C₂	semidirect
5. C₂×#1846	C₂	semidirect
6. #11079	C₂	semidirect
7. #10869	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2078	2
#23639	2
C₂×#1974	2
#21229	2
C₂×#1846	2
#11079	2
#10869	2
#10706	2