Subgroups — #412905

Order 512.

880 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23660	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1952	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21158	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11340	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11270	C₂	1	2	yes	maximal
8	#11210	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10870	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2317	C₂²	1	2	yes	—
22	#2316	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
24	#2085	—	2	4	no	—
25	#2083	—	2	4	no	—
26	#1952	—	2	4	no	—
27	#1944	—	2	2	no	—
28	#1943	—	2	2	no	—
29	#1942	—	2	2	no	—
30	#1942	—	2	2	no	—
31	#1845	—	2	4	no	—
32	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1736	C₂²	1	2	yes	—
36	#1736	C₂²	1	2	yes	—
37	#1736	C₂²	1	2	yes	—
38	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1729	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	—
58	#428	—	2	4	no	—
59	#428	—	4	2	no	—
60	#427	—	2	2	no	—
61	#427	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	—	2	1	no	—
63	C₂×#107	—	2	1	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	—	2	4	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#107	—	2	1	no	—
68	C₂×#107	—	2	1	no	—
69	C₂×#107	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	—	2	2	no	—
71	C₂×#107	—	2	4	no	—
72	C₂×#107	—	4	2	no	—
73	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×#106	—	2	2	no	—
76	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
77	#405	—	2	2	no	—
78	#405	—	2	2	no	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	1	no	—
82	C₂×#97	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
88	#389	—	2	4	no	—
89	#389	—	2	4	no	—
90	#389	—	2	4	no	—
91	#385	—	4	2	no	—
92	#384	—	2	2	no	—
93	#384	—	2	4	no	—
94	#384	—	2	4	no	—
95	#382	—	2	2	no	—
96	#380	—	4	2	no	—
97	#343	—	2	4	no	—
98	#343	—	4	2	no	—
99	#341	Q₈	1	4	yes	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	D₄	1	2	yes	—
104	#340	D₄	1	2	yes	—
105	#339	—	2	4	no	—
106	#339	—	2	2	no	—
107	#339	—	2	2	no	—
108	#336	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
149	#117	—	2	1	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	1	no	—
152	#117	—	2	1	no	—
153	#117	—	2	1	no	—
154	#117	—	2	1	no	—
155	#117	—	2	1	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	1	no	—
159	#117	—	2	1	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
193	#108	—	2	8	no	—
194	#107	—	2	4	no	—
195	#107	—	2	4	no	—
196	#107	—	2	4	no	—
197	#107	—	4	4	no	—
198	#107	—	4	8	no	—
199	#107	—	4	2	no	—
200	#107	—	4	2	no	—
201	#106	—	2	4	no	—
202	#106	—	4	4	no	—
203	#97	—	4	2	no	—
204	#97	—	4	2	no	—
205	C₄×C₈	—	2	8	no	—
206	C₄×C₈	—	4	2	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	#95	—	4	4	no	—
209	#95	—	4	4	no	—
210	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	2	2	no	—
244	M₁₆	—	2	2	no	—
245	M₁₆	—	2	2	no	—
246	M₁₆	—	2	2	no	—
247	M₁₆	—	2	4	no	—
248	M₁₆	—	4	1	no	—
249	M₁₆	—	4	1	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	1	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	#125	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	#125	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
297	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	4	1	no	—
309	C₄²	—	4	1	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	—	4	1	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	1	no	—
314	C₄²	#125	1	4	yes	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	#540	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#542	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#544	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	#546	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	#553	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	Q₈²	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	16	2	no	—
346	C₂×C₄	—	16	2	no	—
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#541	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#542	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#552	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
375	C₈	—	2	4	no	—
376	C₈	—	4	2	no	—
377	C₈	—	4	2	no	—
378	C₈	—	4	4	no	—
379	C₈	#398	1	4	yes	—
380	C₈	#398	1	4	yes	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	2	2	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	#2422	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#2428	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#2442	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2451	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#2507	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#2551	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#2647	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3292	1	2	yes	—
397	C₂²	#3293	1	2	yes	—
398	C₄	—	2	8	no	—
399	C₄	—	8	1	no	—
400	C₄	—	8	4	no	—
401	C₄	—	8	1	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	8	4	no	—
404	C₄	—	16	2	no	—
405	C₄	C₂×#398	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#2423	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#2429	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#2440	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#2452	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#2506	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#2552	1	1	yes	characteristic
412	C₄	#2859	1	1	yes	characteristic
413	C₂	—	2	1	no	—
414	C₂	—	2	1	no	—
415	C₂	—	2	1	no	—
416	C₂	—	2	1	no	—
417	C₂	#15137	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#25053	1	2	yes	—
419	C₂	#25434	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#25435	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#28825	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23660	2
C₂×#1952	2
#21158	2
#21156	2
C₂×#1845	2
#11340	2
#11270	2
#11210	2
#10870	2
#10859	2
#10706	2