Subgroups — #413039

Order 512.

1569 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2053	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#21257	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11038	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#575	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#575	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	#3153	—	2	4	no	—
12	#3152	—	2	2	no	—
13	#3151	—	2	2	no	—
14	#3150	—	2	2	no	—
15	#3147	—	2	2	no	—
16	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#416	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#410	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
23	#2053	—	2	16	no	—
24	#1983	—	2	4	no	—
25	#1982	—	2	2	no	—
26	#1981	—	2	2	no	—
27	#1964	—	2	4	no	—
28	#1964	—	2	4	no	—
29	#1940	—	2	2	no	—
30	#1939	—	2	2	no	—
31	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
33	#1729	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
35	#575	—	2	8	no	—
36	#575	—	2	8	no	—
37	#575	—	4	4	no	—
38	#575	—	4	4	no	—
39	C₂×#137	—	2	4	no	—
40	C₂×#137	—	2	4	no	—
41	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
42	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
43	C₂×#135	—	2	4	no	—
44	C₂×#135	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×#121	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#497	—	2	8	no	—
67	#496	—	2	8	no	—
68	#495	—	2	4	no	—
69	#495	—	2	4	no	—
70	#494	—	2	2	no	—
71	#493	—	2	2	no	—
72	#492	—	2	4	no	—
73	#424	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	#416	—	2	16	no	—
80	#416	—	4	8	no	—
81	C₂×#103	—	2	8	no	—
82	C₂×#102	—	2	8	no	—
83	#410	—	2	16	no	—
84	#410	—	4	8	no	—
85	C₂×#99	—	2	16	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
90	#384	—	2	1	no	—
91	#382	—	2	1	no	—
92	#380	D₄	1	2	yes	—
93	#380	D₄	1	2	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
100	#376	—	2	2	no	—
101	C₄³	—	2	2	no	—
102	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
103	H(3,ℤ/4)	D₄	1	8	yes	complemented
104	#336	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	8	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	8	no	—
111	C₂×#41	—	2	8	no	—
112	C₂×#41	—	2	8	no	—
113	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	#137	—	4	16	no	—
123	#137	—	4	16	no	—
124	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
125	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
126	#135	—	4	8	no	—
127	#135	—	4	8	no	—
128	#135	—	4	8	no	—
129	#135	—	4	8	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×D₈	—	2	4	no	—
135	C₂×D₈	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#124	—	2	4	no	—
157	#124	—	2	4	no	—
158	#124	—	2	4	no	—
159	#124	—	2	4	no	—
160	#121	—	4	2	no	—
161	#121	—	4	2	no	—
162	#121	—	4	2	no	—
163	#121	—	4	2	no	—
164	#121	—	4	2	no	—
165	#121	—	4	2	no	—
166	#121	—	4	2	no	—
167	#121	—	4	2	no	—
168	C₄×D₄	—	4	2	no	—
169	C₄×D₄	—	4	2	no	—
170	C₄×D₄	—	4	2	no	—
171	C₄×D₄	—	4	2	no	—
172	C₄×D₄	—	4	2	no	—
173	C₄×D₄	—	4	2	no	—
174	C₄×D₄	—	4	2	no	—
175	C₄×D₄	—	4	2	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	—	2	4	no	—
180	#117	—	2	4	no	—
181	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
204	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
206	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
207	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
208	#103	—	4	16	no	—
209	#102	—	4	16	no	—
210	#99	—	4	32	no	—
211	#97	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	#95	—	2	2	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	#95	—	4	2	no	—
217	#95	—	4	2	no	—
218	C₂⁴	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	#41	—	4	4	no	—
221	#41	—	4	4	no	—
222	#41	—	4	8	no	—
223	#41	—	4	4	no	—
224	#41	—	4	4	no	—
225	#41	—	4	8	no	—
226	#41	—	4	8	no	—
227	#41	—	4	8	no	—
228	#41	—	4	8	no	—
229	#41	—	4	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	8	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	4	8	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
257	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
273	Q₁₆	—	4	8	no	—
274	Q₁₆	—	4	8	no	—
275	SD₁₆	—	4	16	no	—
276	SD₁₆	—	4	16	no	—
277	D₈	—	4	8	no	—
278	D₈	—	4	8	no	—
279	M₁₆	—	2	8	no	—
280	M₁₆	—	2	8	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	8	no	—
289	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄²	—	2	8	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	8	4	no	—
312	C₄²	—	8	4	no	—
313	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	#120	1	2	yes	—
316	C₄²	#123	1	2	yes	—
317	C₄²	#123	1	2	yes	—
318	C₄²	#123	1	2	yes	—
319	C₄²	#123	1	2	yes	—
320	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	#124	1	2	yes	—
323	C₂³	—	4	1	no	—
324	C₂³	—	4	1	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	8	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	—	8	4	no	—
329	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
332	C₂³	#550	1	2	yes	—
333	Q₈	—	4	4	no	—
334	Q₈	—	4	4	no	—
335	Q₈	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	4	8	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	D₄	—	8	4	no	—
342	D₄	—	8	8	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	D₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	1	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	4	no	—
362	C₂×C₄	—	8	4	no	—
363	C₂×C₄	—	8	4	no	—
364	C₂×C₄	—	8	8	no	—
365	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#394	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
381	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
384	C₈	—	2	4	no	—
385	C₈	—	2	4	no	—
386	C₈	—	8	2	no	—
387	C₂²	—	2	1	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	1	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	16	8	no	—
397	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#2428	1	4	yes	—
399	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	2	1	no	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	1	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	—	8	8	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	#2053	1	2	yes	complemented
410	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
412	C₄	#2445	1	4	yes	—
413	C₄	#2641	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
415	C₂	—	2	1	no	—
416	C₂	—	2	4	no	—
417	C₂	—	2	1	no	—
418	C₂	—	16	4	no	—
419	C₂	#15140	1	1	yes	characteristic
420	C₂	C₂×#2053	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#23535	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#124
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#394
prime radical	#60639	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2053	C₂	semidirect
3. #21257	C₂	semidirect
4. #21212	C₂	semidirect
5. #21145	C₂	semidirect
6. #11038	C₂	semidirect
7. C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	semidirect
103. H(3,ℤ/4)	D₄	semidirect
409. C₄	#2053	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60639	2
C₂×#2053	2
#21257	2
#21212	2
#21145	2
#11038	2
C₄×H(3,ℤ/4)	2