Subgroups — #413043

Order 512.

1590 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2047	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2045	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1967	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11028	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#495	—	2	4	no	—
14	C₂×#495	—	2	8	no	—
15	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2047	—	2	8	no	—
25	#2045	—	2	8	no	—
26	#1967	—	2	8	no	—
27	#1959	—	2	4	no	—
28	#1958	—	2	4	no	—
29	#1939	—	2	4	no	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	#1729	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
39	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
47	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#124	—	2	4	no	—
53	C₂×#124	—	2	4	no	—
54	C₂×#124	—	2	2	no	—
55	C₂×#124	—	2	2	no	—
56	C₂×#124	—	2	4	no	—
57	C₂×#124	—	2	4	no	—
58	C₂×#124	D₄	1	8	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#495	—	2	32	no	—
63	#424	—	2	4	no	—
64	#424	—	2	4	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	#419	—	2	8	no	—
69	#419	—	4	4	no	—
70	#418	—	2	8	no	—
71	#418	—	4	4	no	—
72	C₂×#103	—	2	8	no	—
73	C₂×#102	—	2	8	no	—
74	C₂×#101	—	2	8	no	—
75	C₂×#101	—	2	8	no	—
76	C₂×#101	—	4	4	no	—
77	C₂×#100	—	2	8	no	—
78	C₂×#100	—	2	8	no	—
79	C₂×#100	—	4	4	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
86	#384	D₄	1	2	yes	—
87	#382	D₄	1	2	yes	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	#341	—	2	4	no	—
91	#341	D₄	1	8	yes	—
92	#336	—	2	4	no	—
93	C₂⁵	—	2	2	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂×D₈	—	2	8	no	—
127	C₂×D₈	—	4	16	no	—
128	C₂×D₈	—	4	4	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
150	#124	—	2	16	no	—
151	#124	—	2	8	no	—
152	#124	—	2	8	no	—
153	#124	—	4	4	no	—
154	#124	—	4	4	no	—
155	#124	—	4	8	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
173	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
175	#103	—	4	16	no	—
176	#102	—	4	16	no	—
177	#101	—	4	16	no	—
178	#100	—	4	16	no	—
179	#97	—	4	4	no	—
180	C₄×C₈	—	2	8	no	—
181	C₄×C₈	—	4	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	—	4	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	4	no	—
188	C₂⁴	—	8	8	no	—
189	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	Q₁₆	—	4	16	no	—
245	SD₁₆	—	4	32	no	—
246	D₈	—	4	16	no	—
247	M₁₆	—	2	8	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	4	4	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	4	4	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	#120	1	4	yes	—
277	C₄²	#121	1	4	yes	—
278	C₄²	#121	1	4	yes	—
279	C₄²	#124	1	4	yes	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	8	8	no	—
284	C₂³	—	8	8	no	—
285	C₂³	—	8	4	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	8	no	—
289	C₂³	—	16	8	no	—
290	C₂³	—	16	8	no	—
291	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
293	C₂³	#550	1	2	yes	—
294	C₂³	#559	1	2	yes	—
295	Q₈	—	4	8	no	—
296	Q₈	—	4	4	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	Q₈	—	8	2	no	—
299	Q₈	—	8	2	no	—
300	Q₈	—	8	4	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	4	4	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	8	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
332	C₈	—	2	4	no	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	4	8	no	—
335	C₈	—	8	2	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	8	no	—
341	C₂²	—	16	8	no	—
342	C₂²	—	16	8	no	—
343	C₂²	—	16	4	no	—
344	C₂²	—	16	4	no	—
345	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2445	1	4	yes	—
347	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3067	1	4	yes	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	#2428	1	4	yes	—
355	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2641	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
359	C₂	—	2	4	no	—
360	C₂	—	16	4	no	—
361	C₂	#15140	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#23520	1	2	yes	—
363	C₂	#28496	1	2	yes	—
364	C₂	#28765	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2047	C₂	semidirect
4. C₂×#1967	C₂	semidirect
5. #21204	C₂	semidirect
6. #21143	C₂	semidirect
7. #11028	C₂	semidirect
8. C₄×#341	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#495	2
C₂×#2047	2
C₂×#2045	2
C₂×#1967	2
#21204	2
#21143	2
#11028	2
C₄×#341	2