Subgroups — #413044

Order 512.

1590 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2046	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1967	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11029	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11027	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#495	—	2	4	no	—
14	C₂×#495	—	2	8	no	—
15	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2046	—	2	16	no	—
25	#1967	—	2	8	no	—
26	#1959	—	2	4	no	—
27	#1958	—	2	4	no	—
28	#1939	—	2	4	no	—
29	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	#1729	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#124	—	2	4	no	—
52	C₂×#124	—	2	4	no	—
53	C₂×#124	—	2	2	no	—
54	C₂×#124	—	2	2	no	—
55	C₂×#124	—	2	4	no	—
56	C₂×#124	—	2	4	no	—
57	C₂×#124	D₄	1	8	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#495	—	2	32	no	—
62	#424	—	2	8	no	—
63	#423	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	#419	—	2	8	no	—
67	#419	—	4	4	no	—
68	#418	—	2	8	no	—
69	#418	—	4	4	no	—
70	C₂×#103	—	2	8	no	—
71	C₂×#102	—	2	8	no	—
72	C₂×#101	—	2	8	no	—
73	C₂×#101	—	2	8	no	—
74	C₂×#101	—	4	4	no	—
75	C₂×#100	—	2	8	no	—
76	C₂×#100	—	2	8	no	—
77	C₂×#100	—	4	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
84	#384	D₄	1	2	yes	—
85	#382	D₄	1	2	yes	—
86	#380	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	#341	—	2	4	no	—
89	#341	D₄	1	8	yes	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	C₂⁵	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×D₈	—	2	8	no	—
125	C₂×D₈	—	4	16	no	—
126	C₂×D₈	—	4	4	no	—
127	C₂×D₈	—	4	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
148	#124	—	2	16	no	—
149	#124	—	2	8	no	—
150	#124	—	2	8	no	—
151	#124	—	4	4	no	—
152	#124	—	4	4	no	—
153	#124	—	4	8	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
169	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
171	#103	—	4	16	no	—
172	#102	—	4	16	no	—
173	#101	—	4	16	no	—
174	#100	—	4	16	no	—
175	#97	—	4	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	4	4	no	—
178	#95	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	—	8	8	no	—
185	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	Q₁₆	—	4	16	no	—
241	SD₁₆	—	4	32	no	—
242	D₈	—	4	16	no	—
243	M₁₆	—	2	8	no	—
244	M₁₆	—	2	8	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	#120	1	4	yes	—
271	C₄²	#121	1	4	yes	—
272	C₄²	#121	1	4	yes	—
273	C₄²	#124	1	4	yes	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	8	8	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	8	8	no	—
283	C₂³	—	16	8	no	—
284	C₂³	—	16	8	no	—
285	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
287	C₂³	#550	1	2	yes	—
288	C₂³	#559	1	2	yes	—
289	Q₈	—	4	8	no	—
290	Q₈	—	4	4	no	—
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	Q₈	—	8	2	no	—
293	Q₈	—	8	2	no	—
294	Q₈	—	8	4	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	2	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
326	C₈	—	2	4	no	—
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	4	8	no	—
329	C₈	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	8	8	no	—
335	C₂²	—	16	8	no	—
336	C₂²	—	16	8	no	—
337	C₂²	—	16	4	no	—
338	C₂²	—	16	4	no	—
339	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#2445	1	4	yes	—
341	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#3067	1	4	yes	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	8	4	no	—
347	C₄	—	8	4	no	—
348	C₄	#2428	1	4	yes	—
349	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#2641	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
353	C₂	—	2	4	no	—
354	C₂	—	16	4	no	—
355	C₂	#15140	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#23520	1	2	yes	—
357	C₂	#28495	1	2	yes	—
358	C₂	#28766	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2046	C₂	semidirect
3. C₂×#1967	C₂	semidirect
4. #21204	C₂	semidirect
5. #21143	C₂	semidirect
6. #11029	C₂	semidirect
8. C₄×#341	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#495	2
C₂×#2046	2
C₂×#1967	2
#21204	2
#21143	2
#11029	2
#11027	2
C₄×#341	2