Subgroups — #413066

Order 512.

1898 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1978	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21233	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1945	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10975	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#493	—	2	4	no	—
13	C₂×#493	—	2	8	no	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2309	C₂²	1	4	yes	—
23	#2054	—	2	8	no	—
24	#2045	—	2	8	no	—
25	#1978	—	2	8	no	—
26	#1972	—	2	4	no	—
27	#1970	—	2	4	no	—
28	#1945	—	2	4	no	—
29	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	—	4	2	no	—
34	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
47	C₂²×D₈	D₄	1	8	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#127	—	2	8	no	—
53	C₂×#127	—	2	4	no	—
54	C₂×#127	—	2	8	no	—
55	C₂×#127	—	4	2	no	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#493	—	2	32	no	—
60	C₂×#108	—	2	2	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	#427	—	2	2	no	—
63	#427	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	D₄	1	2	yes	complemented
65	C₂×#106	D₄	1	2	yes	complemented
66	#424	—	2	4	no	—
67	#424	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	#418	—	2	8	no	—
70	#418	—	2	8	no	—
71	#418	—	4	4	no	—
72	#418	—	4	4	no	—
73	C₂×#102	—	2	8	no	—
74	C₂×#102	—	2	8	no	—
75	C₂×#100	—	2	8	no	—
76	C₂×#100	—	2	8	no	—
77	C₂×#100	—	4	4	no	—
78	#405	—	2	4	no	—
79	#405	—	2	4	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
84	#390	—	2	8	no	—
85	#390	—	2	8	no	—
86	#379	—	4	4	no	—
87	#341	D₄	1	4	yes	complemented
88	#340	D₄	1	4	yes	complemented
89	#339	—	2	4	no	—
90	#339	—	2	4	no	—
91	C₂⁵	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂×D₈	—	2	16	no	—
112	C₂×D₈	—	2	16	no	—
113	C₂×D₈	—	2	8	no	—
114	C₂×D₈	—	2	8	no	—
115	C₂×D₈	—	2	16	no	—
116	C₂×D₈	—	4	16	no	—
117	C₂×D₈	—	4	16	no	—
118	C₂×D₈	—	4	8	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂×D₈	—	4	4	no	—
122	C₂×D₈	—	4	4	no	—
123	C₂×D₈	—	4	8	no	—
124	C₂×D₈	—	4	8	no	—
125	C₂×D₈	—	4	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
149	#127	—	2	16	no	—
150	#127	—	4	16	no	—
151	#127	—	4	8	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
171	#108	—	4	4	no	—
172	#107	—	2	4	no	—
173	#106	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	16	no	—
176	#102	—	4	16	no	—
177	#100	—	4	16	no	—
178	#97	—	4	4	no	—
179	C₄×C₈	—	2	8	no	—
180	C₄×C₈	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	—	2	8	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	—	4	4	no	—
185	C₂⁴	—	4	4	no	—
186	C₂⁴	—	4	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	4	no	—
188	C₂⁴	—	8	16	no	—
189	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	8	no	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	32	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	64	no	—
220	C₂×D₄	—	8	32	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
236	D₈	—	4	32	no	—
237	D₈	—	4	16	no	—
238	D₈	—	4	16	no	—
239	M₁₆	—	2	4	no	—
240	M₁₆	—	2	4	no	—
241	M₁₆	—	4	2	no	—
242	M₁₆	—	4	2	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
261	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	16	16	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	#124	1	4	yes	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	8	16	no	—
284	C₂³	—	8	16	no	—
285	C₂³	—	8	16	no	—
286	C₂³	—	8	4	no	—
287	C₂³	—	8	4	no	—
288	C₂³	—	8	4	no	—
289	C₂³	—	8	16	no	—
290	C₂³	—	8	4	no	—
291	C₂³	—	16	8	no	—
292	C₂³	—	16	8	no	—
293	C₂³	—	16	8	no	—
294	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	#540	1	2	yes	—
296	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	#546	1	2	yes	—
298	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	D₄	—	8	64	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	D₄	—	8	4	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	—	8	2	no	—
336	C₈	#394	1	4	yes	—
337	C₈	#394	1	4	yes	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	8	16	no	—
343	C₂²	—	8	8	no	—
344	C₂²	—	8	16	no	—
345	C₂²	—	16	8	no	—
346	C₂²	—	16	8	no	—
347	C₂²	—	16	8	no	—
348	C₂²	—	16	8	no	—
349	C₂²	—	16	8	no	—
350	C₂²	#2428	1	2	yes	—
351	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2445	1	2	yes	—
353	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2641	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#3292	1	4	yes	—
356	C₄	—	2	8	no	—
357	C₄	—	8	4	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2428	1	2	yes	—
361	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#2445	1	2	yes	—
363	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	—	2	1	no	—
367	C₂	—	2	2	no	—
368	C₂	—	16	8	no	—
369	C₂	#15140	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#25434	1	4	yes	—
371	C₂	#28504	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23540	C₂	semidirect
3. C₂×#2045	C₂	semidirect
4. C₂×#1978	C₂	semidirect
5. #21233	C₂	semidirect
6. C₂×#1945	C₂	semidirect
7. #10975	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect
64. C₂×#107	D₄	semidirect
65. C₂×#106	D₄	semidirect
87. #341	D₄	semidirect
88. #340	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
#23540	2
C₂×#2045	2
C₂×#1978	2
#21233	2
C₂×#1945	2
#10975	2
#10706	2