Subgroups — #413075

Order 512.

1730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 441 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2040	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1980	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13911	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11002	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×#343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#537	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#537	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#2856	—	2	2	no	—
15	#2656	—	2	2	no	—
16	#2542	—	2	2	no	—
17	#2541	—	2	2	no	—
18	#2540	—	2	4	no	—
19	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2040	—	2	16	no	—
24	#1980	—	2	8	no	—
25	#1959	—	2	4	no	—
26	#1957	—	2	2	no	—
27	#1956	—	2	2	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
30	#1442	—	2	2	no	—
31	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	#537	—	2	8	no	—
36	#537	—	2	8	no	—
37	#537	—	4	4	no	—
38	#537	—	4	4	no	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	—	2	4	no	—
41	#532	—	2	4	no	—
42	#532	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂×#121	—	2	4	no	—
50	C₂×#121	—	2	4	no	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	4	no	—
53	C₂×#121	—	2	4	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#104	—	2	16	no	—
67	C₂×#104	—	2	16	no	—
68	C₂×#104	—	4	8	no	—
69	#417	—	2	16	no	—
70	#417	—	4	8	no	—
71	C₂×#103	—	2	8	no	—
72	C₂×#102	—	2	8	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
75	C₂×#97	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	#399	—	2	8	no	—
78	#392	—	2	8	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#390	—	2	4	no	—
81	#390	—	2	4	no	—
82	#384	—	2	2	no	—
83	#384	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#382	—	2	8	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
90	C₂×#95	—	2	1	no	—
91	C₂×#95	—	2	4	no	—
92	C₂×#95	—	2	4	no	—
93	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
94	#343	—	2	4	no	—
95	#343	D₄	1	8	yes	complemented
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	8	no	—
102	C₂×#41	—	2	8	no	—
103	C₂×#41	—	2	8	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	#127	—	2	4	no	—
129	#127	—	2	4	no	—
130	#127	—	8	4	no	—
131	#124	—	2	8	no	—
132	#124	—	2	8	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
135	#121	—	4	16	no	—
136	#121	—	4	16	no	—
137	#121	—	4	8	no	—
138	#121	—	4	8	no	—
139	#121	—	4	4	no	—
140	#121	—	4	4	no	—
141	#121	—	4	4	no	—
142	#121	—	4	4	no	—
143	#121	—	4	8	no	—
144	#121	—	4	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	C₄×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
186	#104	—	4	32	no	—
187	#103	—	4	16	no	—
188	#102	—	4	16	no	—
189	#97	—	4	4	no	—
190	C₄×C₈	—	4	4	no	—
191	#95	—	2	4	no	—
192	#95	—	2	4	no	—
193	#95	—	4	8	no	—
194	#95	—	8	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	4	8	no	—
198	#41	—	4	8	no	—
199	#41	—	4	8	no	—
200	#41	—	4	8	no	—
201	#41	—	4	8	no	—
202	#41	—	4	8	no	—
203	#41	—	4	8	no	—
204	#41	—	4	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	4	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	2	no	—
226	C₂×D₄	—	8	2	no	—
227	C₂×D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂×D₄	—	8	4	no	—
230	C₂×D₄	—	8	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
277	M₁₆	—	2	8	no	—
278	M₁₆	—	2	8	no	—
279	M₁₆	—	4	4	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	8	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄²	—	2	8	no	—
300	C₄²	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	8	2	no	—
303	C₄²	#121	1	4	yes	—
304	C₄²	#121	1	4	yes	—
305	C₄²	#123	1	4	yes	—
306	C₄²	#123	1	4	yes	—
307	C₂³	—	2	1	no	—
308	C₂³	—	2	1	no	—
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	4	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	4	8	no	—
326	Q₈	—	4	8	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	4	8	no	—
329	D₄	—	8	8	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	8	no	—
335	D₄	—	16	8	no	—
336	D₄	—	16	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	8	no	—
366	C₂×C₄	—	8	8	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#454	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
381	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
387	C₈	—	4	8	no	—
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	1	no	—
390	C₂²	—	2	1	no	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	2	1	no	—
393	C₂²	—	2	1	no	—
394	C₂²	—	2	1	no	—
395	C₂²	—	2	1	no	—
396	C₂²	—	2	1	no	—
397	C₂²	—	2	1	no	—
398	C₂²	—	2	1	no	—
399	C₂²	—	2	1	no	—
400	C₂²	—	8	4	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	8	4	no	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#2641	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	C₂×#455	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	C₂×#454	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#3021	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	#3022	1	1	yes	characteristic
418	C₄	—	2	2	no	—
419	C₄	—	2	4	no	—
420	C₄	—	4	4	no	—
421	C₄	—	4	4	no	—
422	C₄	—	8	4	no	—
423	C₄	—	8	4	no	—
424	C₄	—	16	2	no	—
425	C₄	#2040	1	4	yes	complemented
426	C₄	#2428	1	4	yes	—
427	C₄	#2445	1	4	yes	—
428	C₂	—	2	1	no	—
429	C₂	—	2	1	no	—
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	2	1	no	—
432	C₂	—	16	4	no	—
433	C₂	#15140	1	1	yes	characteristic
434	C₂	C₂×#2040	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#23500	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#25738	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#25741	1	1	yes	characteristic
438	C₂	#25869	1	1	yes	characteristic
439	C₂	#25872	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	#35166	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2040	C₂	semidirect
3. C₂×#1980	C₂	semidirect
4. #21200	C₂	semidirect
5. #13911	C₂	semidirect
6. #11002	C₂	semidirect
7. C₄×#343	C₂	semidirect
89. C₄×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
95. #343	D₄	semidirect
425. C₄	#2040	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35166	2
C₂×#2040	2
C₂×#1980	2
#21200	2
#13911	2
#11002	2
C₄×#343	2