Subgroups — #413152

Order 512.

2684 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 415 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#2015	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#14714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#494	—	2	4	no	—
16	C₂×#494	—	2	4	no	—
17	C₂×#494	—	2	4	no	—
18	C₂×#492	—	2	4	no	—
19	C₂×#492	—	2	4	no	—
20	C₂×#492	—	2	4	no	—
21	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2858	—	2	4	no	—
26	#2858	—	2	4	no	—
27	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#390	—	2	4	no	—
29	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2015	—	2	32	no	—
32	#1957	—	2	4	no	—
33	#1956	—	2	4	no	—
34	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
35	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×Q₁₆	—	2	16	no	—
44	C₂²×Q₁₆	—	4	8	no	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	2	2	no	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	—	2	2	no	—
68	C₂×#127	—	2	2	no	—
69	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×#124	—	2	8	no	—
71	C₂×#124	—	2	8	no	—
72	C₂×#124	—	2	16	no	—
73	C₂×#124	—	4	8	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#494	—	2	32	no	—
83	#492	—	2	32	no	—
84	C₂×#103	—	2	8	no	—
85	C₂×#103	—	2	16	no	—
86	C₂×#102	—	2	8	no	—
87	C₂×#102	—	2	16	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
94	#391	—	2	16	no	—
95	#390	—	2	32	no	—
96	#384	—	2	2	no	—
97	#384	—	2	2	no	—
98	C₂×#95	—	2	8	no	—
99	C₄³	—	2	2	no	—
100	C₄³	—	2	2	no	—
101	#336	D₄	1	16	yes	complemented
102	C₂⁵	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
166	#127	—	2	8	no	—
167	#127	—	2	8	no	—
168	#127	—	4	4	no	—
169	#127	—	4	4	no	—
170	#124	—	4	32	no	—
171	#124	—	4	32	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
199	#103	—	4	16	no	—
200	#102	—	4	16	no	—
201	C₄×C₈	—	2	8	no	—
202	C₄×C₈	—	2	8	no	—
203	#95	—	4	16	no	—
204	C₂⁴	—	2	4	no	—
205	C₂⁴	—	4	2	no	—
206	C₂⁴	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	—	4	2	no	—
208	C₂⁴	—	4	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	8	no	—
210	C₂⁴	—	4	8	no	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	16	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	4	16	no	—
249	C₂×D₄	—	4	32	no	—
250	C₂×D₄	—	8	16	no	—
251	C₂×D₄	—	8	8	no	—
252	C₂×D₄	—	8	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
273	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
275	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
284	Q₁₆	—	4	64	no	—
285	SD₁₆	—	4	64	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	8	no	—
291	C₂×C₈	—	2	8	no	—
292	C₂×C₈	—	2	8	no	—
293	C₂×C₈	—	2	8	no	—
294	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
295	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
302	C₄²	—	2	8	no	—
303	C₄²	—	2	8	no	—
304	C₄²	—	4	16	no	—
305	C₄²	#120	1	4	yes	—
306	C₄²	#120	1	4	yes	—
307	C₄²	#121	1	4	yes	—
308	C₄²	#121	1	4	yes	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	4	16	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	4	no	—
314	C₂³	—	8	8	no	—
315	C₂³	—	8	4	no	—
316	C₂³	—	8	8	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	16	no	—
319	C₂³	—	8	8	no	—
320	C₂³	—	8	4	no	—
321	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
325	C₂³	#535	1	2	yes	—
326	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
327	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
328	Q₈	—	4	8	no	—
329	Q₈	—	4	8	no	—
330	Q₈	—	4	8	no	—
331	Q₈	—	4	8	no	—
332	Q₈	—	8	4	no	—
333	Q₈	—	8	4	no	—
334	Q₈	—	8	4	no	—
335	Q₈	—	8	4	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	8	4	no	—
339	D₄	—	8	32	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	8	no	—
359	C₂×C₄	#392	1	8	yes	—
360	C₂×C₄	#452	1	16	yes	—
361	C₂×C₄	#464	1	16	yes	—
362	C₂×C₄	#495	1	8	yes	—
363	C₂×C₄	#497	1	8	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
376	C₈	—	2	8	no	—
377	C₈	—	2	8	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	16	no	—
380	C₂²	—	8	8	no	—
381	C₂²	—	16	2	no	—
382	C₂²	—	16	2	no	—
383	C₂²	—	16	8	no	—
384	C₂²	—	16	4	no	—
385	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2433	1	2	yes	—
387	C₂²	#2541	1	2	yes	—
388	C₂²	#2657	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2867	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#452	1	4	yes	—
391	C₂²	C₂×#464	1	4	yes	—
392	C₂²	C₂×#495	1	2	yes	—
393	C₂²	#3147	1	4	yes	—
394	C₂²	C₂×#497	1	2	yes	—
395	C₂²	#3152	1	4	yes	—
396	C₂²	#3210	1	8	yes	—
397	C₄	—	4	8	no	—
398	C₄	—	8	4	no	—
399	C₄	—	8	4	no	—
400	C₄	—	16	2	no	—
401	C₄	#2015	1	16	yes	complemented
402	C₄	#2433	1	2	yes	—
403	C₄	#2433	1	2	yes	—
404	C₄	#2541	1	2	yes	—
405	C₄	#2541	1	2	yes	—
406	C₂	—	16	4	no	—
407	C₂	#15142	1	1	yes	characteristic
408	C₂	C₂×#2015	1	2	yes	—
409	C₂	#25719	1	4	yes	—
410	C₂	#28444	1	4	yes	—
411	C₂	#30261	1	2	yes	—
412	C₂	#33303	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#33305	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#494	C₂	semidirect
4. C₂×#2015	C₂	semidirect
6. C₂×#1956	C₂	semidirect
7. #14714	C₂	semidirect
8. C₄×#336	C₂	semidirect
101. #336	D₄	semidirect
401. C₄	#2015	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#494	2
C₂²×#492	2
C₂×#2858	2
C₂×#2015	2
C₂×#1957	2
C₂×#1956	2
#14714	2
C₄×#336	2