Subgroups — #413153

Order 512.

3000 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 441 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2012	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#493	—	2	4	no	—
16	C₂×#493	—	2	4	no	—
17	C₂×#493	—	2	4	no	—
18	C₂×#492	—	2	4	no	—
19	C₂×#492	—	2	4	no	—
20	C₂×#492	—	2	4	no	—
21	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2858	—	2	4	no	—
26	#2858	—	2	4	no	—
27	C₂×#390	—	2	4	no	—
28	C₂×#390	—	2	4	no	—
29	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2012	—	2	32	no	—
33	#1957	—	2	4	no	—
34	#1956	—	2	4	no	—
35	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
45	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
50	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	—	2	2	no	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	2	2	no	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	2	2	no	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	—	2	2	no	—
68	C₂×#127	—	2	2	no	—
69	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×#124	—	2	8	no	—
72	C₂×#124	—	2	8	no	—
73	C₂×#124	—	2	16	no	—
74	C₂×#124	—	4	8	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
80	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#493	—	2	32	no	—
84	#492	—	2	32	no	—
85	C₂×#103	—	2	8	no	—
86	C₂×#103	—	2	16	no	—
87	C₂×#102	—	2	8	no	—
88	C₂×#102	—	2	16	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
95	#390	—	2	32	no	—
96	#390	—	2	16	no	—
97	#390	—	4	16	no	—
98	#384	—	2	2	no	—
99	#384	—	2	2	no	—
100	C₄³	—	2	2	no	—
101	C₄³	—	2	2	no	—
102	#336	D₄	1	16	yes	complemented
103	C₂⁵	—	2	2	no	—
104	C₂⁵	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
149	C₂×D₈	—	2	32	no	—
150	C₂×D₈	—	4	32	no	—
151	C₂×D₈	—	4	32	no	—
152	C₂×D₈	—	4	16	no	—
153	C₂×D₈	—	4	16	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
168	#127	—	2	8	no	—
169	#127	—	2	8	no	—
170	#127	—	2	8	no	—
171	#127	—	2	8	no	—
172	#127	—	4	4	no	—
173	#127	—	4	4	no	—
174	#127	—	4	4	no	—
175	#127	—	4	4	no	—
176	#124	—	4	32	no	—
177	#124	—	4	32	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
204	#103	—	4	16	no	—
205	#102	—	4	16	no	—
206	C₄×C₈	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	8	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	2	4	no	—
210	C₂⁴	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	4	2	no	—
212	C₂⁴	—	4	4	no	—
213	C₂⁴	—	4	4	no	—
214	C₂⁴	—	4	2	no	—
215	C₂⁴	—	4	2	no	—
216	C₂⁴	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	4	8	no	—
219	C₂⁴	—	4	8	no	—
220	C₂⁴	—	4	8	no	—
221	C₂⁴	—	4	8	no	—
222	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	16	no	—
240	C₂×D₄	—	2	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	4	8	no	—
256	C₂×D₄	—	4	8	no	—
257	C₂×D₄	—	4	8	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	16	no	—
260	C₂×D₄	—	4	16	no	—
261	C₂×D₄	—	4	32	no	—
262	C₂×D₄	—	4	32	no	—
263	C₂×D₄	—	8	16	no	—
264	C₂×D₄	—	8	16	no	—
265	C₂×D₄	—	8	8	no	—
266	C₂×D₄	—	8	8	no	—
267	C₂×D₄	—	8	8	no	—
268	C₂×D₄	—	8	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
284	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
286	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
295	SD₁₆	—	4	64	no	—
296	D₈	—	4	64	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	8	no	—
302	C₂×C₈	—	2	8	no	—
303	C₂×C₈	—	2	8	no	—
304	C₂×C₈	—	2	8	no	—
305	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
306	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
307	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
313	C₄²	—	2	8	no	—
314	C₄²	—	2	8	no	—
315	C₄²	—	4	16	no	—
316	C₄²	#120	1	4	yes	—
317	C₄²	#120	1	4	yes	—
318	C₄²	#121	1	4	yes	—
319	C₄²	#121	1	4	yes	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	16	no	—
324	C₂³	—	4	16	no	—
325	C₂³	—	4	8	no	—
326	C₂³	—	8	2	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	—	8	4	no	—
329	C₂³	—	8	4	no	—
330	C₂³	—	8	8	no	—
331	C₂³	—	8	8	no	—
332	C₂³	—	8	4	no	—
333	C₂³	—	8	4	no	—
334	C₂³	—	8	8	no	—
335	C₂³	—	8	8	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	2	no	—
338	C₂³	—	8	4	no	—
339	C₂³	—	8	16	no	—
340	C₂³	—	8	16	no	—
341	C₂³	—	8	8	no	—
342	C₂³	—	8	8	no	—
343	C₂³	—	8	4	no	—
344	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
347	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
348	C₂³	#535	1	2	yes	—
349	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
350	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
351	Q₈	—	4	8	no	—
352	Q₈	—	4	8	no	—
353	Q₈	—	8	4	no	—
354	Q₈	—	8	4	no	—
355	D₄	—	4	8	no	—
356	D₄	—	4	8	no	—
357	D₄	—	4	8	no	—
358	D₄	—	4	8	no	—
359	D₄	—	8	4	no	—
360	D₄	—	8	32	no	—
361	D₄	—	8	32	no	—
362	D₄	—	8	4	no	—
363	D₄	—	8	4	no	—
364	D₄	—	8	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	8	no	—
366	C₂×C₄	—	2	8	no	—
367	C₂×C₄	—	2	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	8	no	—
378	C₂×C₄	#392	1	8	yes	—
379	C₂×C₄	#449	1	16	yes	—
380	C₂×C₄	#463	1	16	yes	—
381	C₂×C₄	#495	1	8	yes	—
382	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
393	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
394	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
395	C₈	—	2	8	no	—
396	C₈	—	2	8	no	—
397	C₂²	—	8	16	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	8	16	no	—
401	C₂²	—	8	8	no	—
402	C₂²	—	8	8	no	—
403	C₂²	—	16	2	no	—
404	C₂²	—	16	2	no	—
405	C₂²	—	16	2	no	—
406	C₂²	—	16	2	no	—
407	C₂²	—	16	8	no	—
408	C₂²	—	16	4	no	—
409	C₂²	—	16	4	no	—
410	C₂²	—	16	8	no	—
411	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#2433	1	2	yes	—
413	C₂²	#2541	1	2	yes	—
414	C₂²	#2657	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	#2867	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	C₂×#449	1	4	yes	—
417	C₂²	C₂×#463	1	4	yes	—
418	C₂²	C₂×#495	1	2	yes	—
419	C₂²	#3147	1	4	yes	—
420	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
421	C₂²	#3151	1	4	yes	—
422	C₂²	#3207	1	8	yes	—
423	C₄	—	4	8	no	—
424	C₄	—	8	4	no	—
425	C₄	—	16	2	no	—
426	C₄	#2012	1	16	yes	complemented
427	C₄	#2433	1	2	yes	—
428	C₄	#2433	1	2	yes	—
429	C₄	#2541	1	2	yes	—
430	C₄	#2541	1	2	yes	—
431	C₂	—	16	4	no	—
432	C₂	—	16	4	no	—
433	C₂	#15142	1	1	yes	characteristic
434	C₂	C₂×#2012	1	2	yes	—
435	C₂	#25720	1	4	yes	—
436	C₂	#28443	1	4	yes	—
437	C₂	#30260	1	2	yes	—
438	C₂	#33303	1	1	yes	characteristic
439	C₂	#33304	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#492	C₂	semidirect
3. C₂×#2858	C₂	semidirect
4. C₂×#2012	C₂	semidirect
5. C₂×#1957	C₂	semidirect
6. C₂×#1956	C₂	semidirect
7. #14713	C₂	semidirect
8. C₄×#336	C₂	semidirect
102. #336	D₄	semidirect
426. C₄	#2012	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂²×#492	2
C₂×#2858	2
C₂×#2012	2
C₂×#1957	2
C₂×#1956	2
#14713	2
C₄×#336	2