Subgroups — #413172

Order 512.

2856 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 447 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2012	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2014	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1970	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1969	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#15227	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#495	—	2	8	no	—
16	C₂×#495	—	2	8	no	—
17	C₂×#495	—	2	8	no	—
18	C₂×#493	—	2	4	no	—
19	C₂×#493	—	2	8	no	—
20	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
27	#2014	—	2	8	no	—
28	#2012	—	2	16	no	—
29	#1970	—	2	8	no	—
30	#1969	—	2	4	no	—
31	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	#1438	—	2	8	no	—
34	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
43	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
55	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
56	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
58	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
59	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
60	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
61	C₂²×D₈	D₄	1	8	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#127	—	2	8	no	—
66	C₂×#127	—	2	4	no	—
67	C₂×#127	—	2	4	no	—
68	C₂×#127	—	4	4	no	—
69	C₂×#124	—	2	8	no	—
70	C₂×#124	—	2	8	no	—
71	C₂×#124	—	2	8	no	—
72	C₂×#124	—	2	8	no	—
73	C₂×#124	—	4	4	no	—
74	C₂×#124	—	4	4	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#495	—	2	64	no	—
81	#493	—	2	32	no	—
82	C₂×#107	—	2	2	no	—
83	C₂×#107	—	2	4	no	—
84	C₂×#103	—	2	4	no	—
85	C₂×#103	—	2	8	no	—
86	C₂×#102	—	2	8	no	—
87	C₂×#102	—	2	8	no	—
88	C₂×#102	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
94	#391	—	2	4	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#390	—	2	8	no	—
97	#390	—	2	8	no	—
98	C₂×#95	—	2	4	no	—
99	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
100	#336	D₄	1	4	yes	—
101	#336	D₄	1	8	yes	complemented
102	C₂⁵	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
129	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
148	C₂×D₈	—	2	16	no	—
149	C₂×D₈	—	2	16	no	—
150	C₂×D₈	—	2	16	no	—
151	C₂×D₈	—	2	16	no	—
152	C₂×D₈	—	4	16	no	—
153	C₂×D₈	—	4	16	no	—
154	C₂×D₈	—	4	8	no	—
155	C₂×D₈	—	4	8	no	—
156	C₂×D₈	—	4	8	no	—
157	C₂×D₈	—	4	8	no	—
158	C₂×D₈	—	4	8	no	—
159	C₂×D₈	—	4	8	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
177	#127	—	2	16	no	—
178	#127	—	4	16	no	—
179	#127	—	4	8	no	—
180	#124	—	2	32	no	—
181	#124	—	4	16	no	—
182	#124	—	4	16	no	—
183	#124	—	4	16	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	#107	—	4	4	no	—
204	#103	—	4	8	no	—
205	#102	—	4	16	no	—
206	C₄×C₈	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	16	no	—
208	#95	—	2	8	no	—
209	#95	—	4	8	no	—
210	C₂⁴	—	2	8	no	—
211	C₂⁴	—	4	4	no	—
212	C₂⁴	—	4	4	no	—
213	C₂⁴	—	4	4	no	—
214	C₂⁴	—	4	4	no	—
215	C₂⁴	—	4	4	no	—
216	C₂⁴	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	16	no	—
218	C₂⁴	—	4	16	no	—
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	8	no	—
239	C₂×D₄	—	2	8	no	—
240	C₂×D₄	—	2	8	no	—
241	C₂×D₄	—	2	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	8	no	—
243	C₂×D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	32	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	8	64	no	—
268	C₂×D₄	—	8	16	no	—
269	C₂×D₄	—	8	16	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
285	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
297	Q₁₆	—	4	16	no	—
298	SD₁₆	—	4	64	no	—
299	D₈	—	4	32	no	—
300	D₈	—	4	32	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
312	C₂×C₈	#120	1	8	yes	—
313	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
314	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
315	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
316	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
317	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
318	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
323	C₄²	—	2	4	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	2	2	no	—
327	C₄²	—	2	4	no	—
328	C₄²	—	2	4	no	—
329	C₄²	—	2	4	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	32	no	—
333	C₂³	—	4	8	no	—
334	C₂³	—	8	4	no	—
335	C₂³	—	8	16	no	—
336	C₂³	—	8	8	no	—
337	C₂³	—	8	8	no	—
338	C₂³	—	8	8	no	—
339	C₂³	—	8	8	no	—
340	C₂³	—	8	8	no	—
341	C₂³	—	8	8	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	—	8	16	no	—
344	C₂³	—	8	16	no	—
345	C₂³	—	8	4	no	—
346	C₂³	—	8	4	no	—
347	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
348	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
349	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
350	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
351	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
352	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
353	C₂³	#576	1	4	yes	—
354	Q₈	—	4	4	no	—
355	Q₈	—	4	8	no	—
356	Q₈	—	4	4	no	—
357	Q₈	—	8	2	no	—
358	Q₈	—	8	2	no	—
359	Q₈	—	8	4	no	—
360	D₄	—	4	8	no	—
361	D₄	—	4	8	no	—
362	D₄	—	4	8	no	—
363	D₄	—	4	8	no	—
364	D₄	—	8	64	no	—
365	D₄	—	8	4	no	—
366	D₄	—	8	4	no	—
367	D₄	—	8	4	no	—
368	D₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	16	no	—
372	C₂×C₄	—	2	8	no	—
373	C₂×C₄	—	2	8	no	—
374	C₂×C₄	—	2	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	8	no	—
377	C₂×C₄	—	4	8	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	8	4	no	—
382	C₂×C₄	—	8	2	no	—
383	C₂×C₄	—	8	8	no	—
384	C₂×C₄	—	8	4	no	—
385	C₂×C₄	#495	1	8	yes	complemented
386	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
404	C₈	—	2	4	no	—
405	C₈	—	2	8	no	—
406	C₈	#392	1	8	yes	—
407	C₂²	—	8	8	no	—
408	C₂²	—	8	16	no	—
409	C₂²	—	8	16	no	—
410	C₂²	—	8	16	no	—
411	C₂²	—	16	4	no	—
412	C₂²	—	16	4	no	—
413	C₂²	—	16	8	no	—
414	C₂²	—	16	8	no	—
415	C₂²	—	16	8	no	—
416	C₂²	#2433	1	2	yes	—
417	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	#2541	1	2	yes	—
420	C₂²	#2867	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	C₂×#495	1	2	yes	—
422	C₂²	#3147	1	4	yes	—
423	C₂²	#3155	1	2	yes	—
424	C₂²	#3155	1	4	yes	—
425	C₂²	#3280	1	8	yes	—
426	C₂²	#3287	1	4	yes	—
427	C₂²	#3396	1	4	yes	—
428	C₄	—	2	8	no	—
429	C₄	—	4	8	no	—
430	C₄	—	8	4	no	—
431	C₄	—	16	2	no	—
432	C₄	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
434	C₄	#2433	1	2	yes	—
435	C₄	#2541	1	2	yes	—
436	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
438	C₂	—	16	8	no	—
439	C₂	#15142	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#25777	1	4	yes	—
441	C₂	#25781	1	2	yes	—
442	C₂	#28463	1	2	yes	—
443	C₂	#28465	1	4	yes	—
444	C₂	#33303	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#33308	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₄×#95 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#495	C₂	semidirect
3. C₂×#2012	C₂	semidirect
4. C₂×#2014	C₂	semidirect
5. C₂×#1970	C₂	semidirect
6. C₂×#1969	C₂	semidirect
7. #15227	C₂	semidirect
8. C₈×#95	C₂	semidirect
42. C₂²×Q₁₆	D₄	semidirect
93. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect
101. #336	D₄	semidirect
385. C₂×C₄	#495	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#495	2
C₂²×#493	2
C₂×#2012	2
C₂×#2014	2
C₂×#1970	2
C₂×#1969	2
#15227	2
C₈×#95	2