Subgroups — #413188

Order 512.

3530 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2541	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1999	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1982	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂²×#127	—	2	2	no	—
9	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#121	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	—	2	4	no	—
13	C₂×#493	—	2	8	no	—
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2541	—	2	8	no	—
19	#2541	—	2	8	no	—
20	C₂×#392	—	2	4	no	—
21	C₂×#390	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#1999	—	2	32	no	—
24	#1982	—	2	8	no	—
25	#1954	—	2	4	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
28	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
29	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
30	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
34	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
36	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×#127	—	2	16	no	—
40	C₂×#127	—	2	4	no	—
41	C₂×#127	—	2	4	no	—
42	C₂×#127	—	2	4	no	—
43	C₂×#127	—	2	4	no	—
44	C₂×#127	—	2	4	no	—
45	C₂×#127	—	4	8	no	—
46	C₂×#127	—	4	8	no	—
47	C₂×#127	D₄	1	8	yes	complemented
48	C₂×#121	—	2	16	no	—
49	C₂×#121	—	2	16	no	—
50	C₂×#121	—	2	32	no	—
51	C₂×#121	—	4	16	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#493	—	2	32	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×#102	—	2	16	no	—
66	C₂×#102	—	2	32	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
71	#392	—	2	32	no	—
72	#390	—	2	16	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
75	C₂×#95	—	2	2	no	—
76	#340	D₄	1	16	yes	complemented
77	C₂⁵	—	2	4	no	—
78	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
95	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
106	C₂²×D₄	D₈	1	4	yes	complemented
107	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×D₈	—	2	32	no	—
120	C₂×D₈	—	4	64	no	—
121	C₂×D₈	—	4	16	no	—
122	C₂×D₈	—	4	16	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	#127	—	2	16	no	—
131	#127	—	2	16	no	—
132	#127	—	4	64	no	—
133	#127	—	4	8	no	—
134	#127	—	4	8	no	—
135	#121	—	4	64	no	—
136	#121	—	4	32	no	—
137	#121	—	4	32	no	—
138	C₄×D₄	—	4	4	no	—
139	C₄×D₄	—	4	8	no	—
140	C₄×D₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
158	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
159	#102	—	4	32	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
161	C₄×C₈	—	2	8	no	—
162	#95	—	2	8	no	—
163	C₂⁴	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	8	no	—
166	C₂⁴	—	2	2	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	2	8	no	—
169	C₂⁴	—	2	8	no	—
170	C₂⁴	—	4	4	no	—
171	C₂⁴	—	4	4	no	—
172	C₂⁴	—	4	16	no	—
173	C₂⁴	—	4	4	no	—
174	C₂⁴	—	4	4	no	—
175	C₂⁴	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	—	4	16	no	—
178	C₂⁴	C₂×D₈	1	4	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	32	no	—
183	C₂×D₄	—	2	16	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	4	64	no	—
186	C₂×D₄	—	4	64	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	16	no	—
196	C₂×D₄	—	4	16	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	16	no	—
199	C₂×D₄	—	4	16	no	—
200	C₂×D₄	—	4	16	no	—
201	C₂×D₄	—	4	8	no	—
202	C₂×D₄	—	4	16	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	8	16	no	—
205	C₂×D₄	—	8	16	no	—
206	C₂×D₄	—	8	16	no	—
207	C₂×D₄	—	8	64	no	—
208	C₂×D₄	—	8	32	no	—
209	C₂×D₄	—	8	64	no	—
210	C₂×D₄	—	8	8	no	—
211	C₂×D₄	—	8	8	no	—
212	C₂×D₄	—	8	8	no	—
213	C₂×D₄	—	8	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
245	D₈	—	4	64	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	16	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	#127	1	8	yes	complemented
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	#127	1	16	yes	complemented
257	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₄²	—	4	16	no	—
260	C₄²	#120	1	4	yes	—
261	C₄²	#121	1	8	yes	—
262	C₄²	#127	1	4	yes	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	2	16	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	16	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	—	4	16	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	16	no	—
280	C₂³	—	8	8	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	—	8	4	no	—
283	C₂³	—	8	8	no	—
284	C₂³	—	8	16	no	—
285	C₂³	—	8	16	no	—
286	C₂³	—	8	16	no	—
287	C₂³	—	8	16	no	—
288	C₂³	—	8	4	no	—
289	C₂³	—	8	4	no	—
290	C₂³	—	8	8	no	—
291	C₂³	—	8	8	no	—
292	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	D₄²	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
298	C₂³	#576	1	4	yes	—
299	D₄	—	4	16	no	—
300	D₄	—	4	16	no	—
301	D₄	—	4	16	no	—
302	D₄	—	8	32	no	—
303	D₄	—	8	128	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	D₄	—	8	32	no	—
307	D₄	—	8	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	16	no	—
314	C₂×C₄	—	4	16	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	8	no	—
322	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	#449	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#469	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	D₄²	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
337	C₈	—	2	8	no	—
338	C₈	—	8	2	no	—
339	C₂²	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	16	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	8	8	no	—
346	C₂²	—	8	8	no	—
347	C₂²	—	8	8	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	8	16	no	—
350	C₂²	—	8	16	no	—
351	C₂²	—	16	8	no	—
352	C₂²	—	16	8	no	—
353	C₂²	—	16	8	no	—
354	C₂²	—	16	8	no	—
355	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2433	1	4	yes	—
357	C₂²	#2541	1	2	yes	—
358	C₂²	C₂×#447	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂×#449	1	2	yes	—
360	C₂²	#3008	1	4	yes	—
361	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3058	1	2	yes	—
364	C₂²	#3274	1	8	yes	—
365	C₂²	D₄×D₈	1	4	yes	—
366	C₂²	#3287	1	4	yes	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	4	16	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	#1999	1	8	yes	complemented
371	C₄	#2433	1	2	yes	—
372	C₄	#2541	1	4	yes	—
373	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2867	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	8	4	no	—
376	C₂	—	16	8	no	—
377	C₂	#15142	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₂×#1999	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#23387	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#25757	1	4	yes	—
381	C₂	#25759	1	4	yes	—
382	C₂	#28485	1	2	yes	—
383	C₂	#28488	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#493	C₂	semidirect
2. C₂×#2541	C₂	semidirect
3. C₂×#1999	C₂	semidirect
4. C₂×#1982	C₂	semidirect
5. C₂×#1954	C₂	semidirect
6. C₄×#340	C₂	semidirect
47. C₂×#127	D₄	semidirect
70. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect
74. C₄×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
76. #340	D₄	semidirect
106. C₂²×D₄	D₈	semidirect
252. C₂×C₈	#127	semidirect
256. C₄⋊C₄	#127	semidirect
370. C₄	#1999	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂×#2541	2
C₂×#1999	2
C₂×#1982	2
C₂×#1954	2
C₄×#340	2