Subgroups — #413193

Order 512.

2480 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 448 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2019	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3152	—	2	4	no	—
16	#3152	—	2	4	no	—
17	#3151	—	2	4	no	—
18	#3151	—	2	4	no	—
19	C₂×#497	—	2	2	no	—
20	C₂×#496	—	2	2	no	—
21	C₂×#494	—	2	1	no	—
22	C₂×#493	—	2	1	no	—
23	C₂×#492	—	2	4	no	—
24	C₂×#492	—	2	4	no	—
25	C₂×#492	—	2	1	no	—
26	C₂×#492	—	2	4	no	—
27	C₂×#492	—	2	1	no	—
28	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2019	—	2	32	no	—
36	#1966	—	2	4	no	—
37	#1965	—	2	4	no	—
38	#1954	—	2	4	no	—
39	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#137	—	2	8	no	—
45	C₂×#137	—	2	8	no	—
46	C₂×#137	—	2	16	no	—
47	C₂×#137	—	4	8	no	—
48	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
49	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
50	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
51	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
54	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
56	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
57	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
58	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
59	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
60	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	#532	—	2	2	no	—
66	#532	—	2	2	no	—
67	#532	—	2	2	no	—
68	#532	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×#127	—	2	2	no	—
78	C₂×#127	—	2	2	no	—
79	C₂×#127	—	2	1	no	—
80	C₂×#127	—	2	1	no	—
81	C₂×#127	—	2	2	no	—
82	C₂×#127	—	2	2	no	—
83	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
85	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×#121	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#497	—	2	16	no	—
91	#496	—	2	16	no	—
92	#494	—	2	8	no	—
93	#493	—	2	8	no	—
94	#492	—	2	32	no	—
95	#492	—	2	8	no	—
96	#492	—	2	8	no	—
97	#423	—	2	2	no	—
98	#423	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×#101	—	2	8	no	—
101	C₂×#101	—	2	16	no	—
102	C₂×#100	—	2	8	no	—
103	C₂×#100	—	2	16	no	—
104	#408	—	2	16	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
106	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
109	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
110	C₂×#97	—	2	1	no	—
111	C₂×#97	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
117	#341	D₄	1	16	yes	complemented
118	C₂⁵	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	8	no	—
124	C₂×#41	—	2	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
148	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	#137	—	4	32	no	—
155	#137	—	4	16	no	—
156	#137	—	4	16	no	—
157	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
158	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
159	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
164	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
165	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
166	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
167	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
168	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
169	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
171	C₂×D₈	—	2	16	no	—
172	C₂×D₈	—	4	16	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
174	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
175	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
176	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
177	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
180	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
181	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
191	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
194	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
196	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
198	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
199	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
200	#127	—	2	8	no	—
201	#127	—	2	4	no	—
202	#127	—	2	4	no	—
203	#127	—	2	2	no	—
204	#127	—	2	2	no	—
205	#127	—	4	2	no	—
206	#127	—	4	2	no	—
207	#127	—	4	4	no	—
208	#124	—	2	4	no	—
209	#124	—	2	4	no	—
210	#121	—	4	4	no	—
211	#121	—	4	4	no	—
212	C₄×D₄	—	4	4	no	—
213	C₄×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
228	#101	—	4	16	no	—
229	#100	—	4	16	no	—
230	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
231	#97	—	2	4	no	—
232	#97	—	2	4	no	—
233	C₄×C₈	—	2	8	no	—
234	C₄×C₈	—	2	4	no	—
235	C₄×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂⁴	—	2	2	no	—
237	C₂⁴	—	2	4	no	—
238	C₂⁴	—	4	2	no	—
239	C₂⁴	—	4	2	no	—
240	C₂⁴	—	4	8	no	—
241	C₂⁴	—	8	8	no	—
242	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	#41	—	4	4	no	—
244	#41	—	4	4	no	—
245	#41	—	4	4	no	—
246	#41	—	4	4	no	—
247	#41	—	4	8	no	—
248	#41	—	4	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
265	C₂×D₄	—	2	2	no	—
266	C₂×D₄	—	2	2	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	8	no	—
270	C₂×D₄	—	2	16	no	—
271	C₂×D₄	—	4	2	no	—
272	C₂×D₄	—	4	2	no	—
273	C₂×D₄	—	4	8	no	—
274	C₂×D₄	—	4	2	no	—
275	C₂×D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×D₄	—	4	4	no	—
278	C₂×D₄	—	4	2	no	—
279	C₂×D₄	—	4	4	no	—
280	C₂×D₄	—	4	4	no	—
281	C₂×D₄	—	4	4	no	—
282	C₂×D₄	—	4	8	no	—
283	C₂×D₄	—	4	8	no	—
284	C₂×D₄	—	4	4	no	—
285	C₂×D₄	—	4	8	no	—
286	C₂×D₄	—	4	8	no	—
287	C₂×D₄	—	4	8	no	—
288	C₂×D₄	—	8	8	no	—
289	C₂×D₄	—	8	16	no	—
290	C₂×D₄	—	8	16	no	—
291	C₂×D₄	—	8	8	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
303	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
304	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
313	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
314	Q₁₆	—	4	32	no	—
315	SD₁₆	—	4	64	no	—
316	SD₁₆	—	4	32	no	—
317	SD₁₆	—	4	32	no	—
318	D₈	—	4	32	no	—
319	M₁₆	—	2	4	no	—
320	M₁₆	—	2	4	no	—
321	M₁₆	—	2	8	no	—
322	M₁₆	—	2	8	no	—
323	M₁₆	—	4	4	no	—
324	M₁₆	—	4	4	no	—
325	M₁₆	#127	1	8	yes	—
326	M₁₆	#127	1	8	yes	—
327	C₂×C₈	—	2	4	no	—
328	C₂×C₈	—	2	4	no	—
329	C₂×C₈	—	2	4	no	—
330	C₂×C₈	—	2	4	no	—
331	C₂×C₈	—	2	8	no	—
332	C₂×C₈	—	2	8	no	—
333	C₂×C₈	—	2	8	no	—
334	C₂×C₈	—	2	8	no	—
335	C₂×C₈	—	4	4	no	—
336	C₂×C₈	—	4	2	no	—
337	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
338	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
339	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
340	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
342	C₄²	#120	1	4	yes	—
343	C₄²	#120	1	2	yes	—
344	C₄²	#120	1	2	yes	—
345	C₄²	#120	1	2	yes	—
346	C₄²	#120	1	2	yes	—
347	C₄²	#127	1	4	yes	—
348	C₂³	—	2	4	no	—
349	C₂³	—	4	2	no	—
350	C₂³	—	4	4	no	—
351	C₂³	—	4	4	no	—
352	C₂³	—	4	8	no	—
353	C₂³	—	4	8	no	—
354	C₂³	—	8	8	no	—
355	C₂³	—	8	8	no	—
356	C₂³	—	8	4	no	—
357	C₂³	—	8	4	no	—
358	C₂³	—	8	8	no	—
359	C₂³	—	16	16	no	—
360	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
362	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
363	C₂³	#550	1	4	yes	—
364	Q₈	—	4	8	no	—
365	Q₈	—	4	4	no	—
366	Q₈	—	4	8	no	—
367	Q₈	—	4	4	no	—
368	Q₈	—	8	2	no	—
369	Q₈	—	8	2	no	—
370	Q₈	—	8	4	no	—
371	D₄	—	4	4	no	—
372	D₄	—	4	8	no	—
373	D₄	—	4	8	no	—
374	D₄	—	4	4	no	—
375	D₄	—	8	16	no	—
376	D₄	—	8	4	no	—
377	D₄	—	8	4	no	—
378	D₄	—	8	2	no	—
379	D₄	—	8	2	no	—
380	D₄	—	8	4	no	—
381	D₄	—	8	8	no	—
382	D₄	—	8	16	no	—
383	C₂×C₄	—	2	4	no	—
384	C₂×C₄	—	2	8	no	—
385	C₂×C₄	—	2	8	no	—
386	C₂×C₄	—	4	2	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	8	no	—
390	C₂×C₄	—	8	4	no	—
391	C₂×C₄	—	8	4	no	—
392	C₂×C₄	—	8	2	no	—
393	C₂×C₄	—	8	2	no	—
394	C₂×C₄	—	8	4	no	—
395	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
396	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	#471	1	8	yes	—
398	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
409	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
410	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
411	C₈	—	2	8	no	—
412	C₈	—	2	8	no	—
413	C₈	—	2	8	no	—
414	C₈	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	2	8	no	—
416	C₂²	—	2	2	no	—
417	C₂²	—	2	2	no	—
418	C₂²	—	8	2	no	—
419	C₂²	—	8	4	no	—
420	C₂²	—	8	8	no	—
421	C₂²	—	8	8	no	—
422	C₂²	—	8	4	no	—
423	C₂²	—	16	8	no	—
424	C₂²	—	16	8	no	—
425	C₂²	—	16	8	no	—
426	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
427	C₂²	#2541	1	2	yes	—
428	C₂²	#2541	1	2	yes	—
429	C₂²	#2541	1	2	yes	—
430	C₂²	C₂×#471	1	4	yes	—
431	C₄	—	2	4	no	—
432	C₄	—	8	2	no	—
433	C₄	—	8	4	no	—
434	C₄	#2019	1	8	yes	complemented
435	C₄	#2433	1	2	yes	—
436	C₄	#2433	1	2	yes	—
437	C₄	#2433	1	2	yes	—
438	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
439	C₄	#2867	1	1	yes	characteristic
440	C₂	—	2	2	no	—
441	C₂	—	2	2	no	—
442	C₂	—	16	2	no	—
443	C₂	—	16	4	no	—
444	C₂	#15142	1	1	yes	characteristic
445	C₂	C₂×#2019	1	2	yes	—
446	C₂	#28494	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#3151	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3152	C₂	semidirect
3. C₂²×#492	C₂	semidirect
4. C₂×#2019	C₂	semidirect
5. C₂×#1966	C₂	semidirect
6. C₂×#1965	C₂	semidirect
7. #21187	C₂	semidirect
8. C₄×#341	C₂	semidirect
117. #341	D₄	semidirect
434. C₄	#2019	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3152	2
C₂×#3151	2
C₂²×#492	2
C₂×#2019	2
C₂×#1966	2
C₂×#1965	2
#21187	2
C₄×#341	2