Subgroups — #413203

Order 512.

2736 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 460 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#35274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#2004	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#21259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#535	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
15	#3152	—	2	4	no	—
16	#3152	—	2	4	no	—
17	C₂×#497	—	2	2	no	—
18	C₂×#494	—	2	1	no	—
19	C₂×#492	—	2	1	no	—
20	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2867	—	2	1	no	—
26	#2858	—	2	4	no	—
27	#2858	—	2	1	no	—
28	#2858	—	2	4	no	—
29	#2657	—	2	2	no	—
30	#2541	—	2	4	no	—
31	#2433	—	2	4	no	—
32	C₂×#390	—	2	4	no	—
33	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2004	—	2	32	no	—
36	#1981	—	2	4	no	—
37	#1965	—	2	4	no	—
38	#1962	—	2	4	no	—
39	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#137	—	2	8	no	—
45	C₂×#137	—	2	8	no	—
46	C₂×#137	—	2	16	no	—
47	C₂×#137	—	4	8	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	#535	—	2	16	no	—
53	#535	—	4	8	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	—	2	2	no	—
56	#532	—	2	2	no	—
57	#532	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
66	C₂×#127	—	2	4	no	—
67	C₂×#127	—	2	8	no	—
68	C₂×#127	—	2	2	no	—
69	C₂×#127	—	2	2	no	—
70	C₂×#127	—	2	1	no	—
71	C₂×#127	—	2	1	no	—
72	C₂×#127	—	2	2	no	—
73	C₂×#127	—	2	2	no	—
74	C₂×#127	—	2	2	no	—
75	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#124	—	2	8	no	—
77	C₂×#124	—	2	4	no	—
78	C₂×#124	—	2	8	no	—
79	C₂×#124	—	2	16	no	—
80	C₂×#124	—	4	8	no	—
81	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×#121	—	2	2	no	—
83	C₂×#121	—	2	8	no	—
84	C₂×#120	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
89	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#497	—	2	16	no	—
93	#494	—	2	8	no	—
94	#492	—	2	8	no	—
95	#423	—	2	2	no	—
96	#423	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₂×#104	—	2	8	no	—
99	C₂×#104	—	2	16	no	—
100	#419	—	2	16	no	—
101	C₂×#103	—	2	8	no	—
102	C₂×#100	—	2	8	no	—
103	C₂×#100	—	2	16	no	—
104	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
106	C₂×#97	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
108	#392	—	2	16	no	—
109	#390	—	2	32	no	—
110	#390	—	2	8	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
113	#376	—	2	1	no	—
114	C₄³	—	2	2	no	—
115	C₄³	—	2	1	no	—
116	C₄³	D₄	1	4	yes	complemented
117	#339	D₄	1	16	yes	complemented
118	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	8	no	—
123	C₂×#41	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
150	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#137	—	4	32	no	—
157	#137	—	4	16	no	—
158	#137	—	4	16	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
168	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
180	#127	—	2	2	no	—
181	#127	—	2	2	no	—
182	#127	—	4	16	no	—
183	#127	—	4	2	no	—
184	#127	—	4	2	no	—
185	#127	—	4	4	no	—
186	#127	—	4	2	no	—
187	#127	—	4	2	no	—
188	#127	—	4	4	no	—
189	#127	—	8	16	no	—
190	#124	—	2	4	no	—
191	#124	—	2	4	no	—
192	#124	—	4	32	no	—
193	#124	—	4	16	no	—
194	#124	—	4	16	no	—
195	#124	—	4	16	no	—
196	#121	—	4	16	no	—
197	#121	—	4	4	no	—
198	#121	—	4	4	no	—
199	#121	—	4	16	no	—
200	#120	—	4	32	no	—
201	C₄×D₄	—	4	4	no	—
202	C₄×D₄	—	4	4	no	—
203	#117	—	2	4	no	—
204	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
221	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
231	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
232	#104	—	4	16	no	—
233	#103	—	4	16	no	—
234	#100	—	4	16	no	—
235	#97	—	2	4	no	—
236	C₄×C₈	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	C₂⁴	—	2	4	no	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	—	2	2	no	—
241	C₂⁴	—	2	4	no	—
242	C₂⁴	—	2	16	no	—
243	C₂⁴	—	4	16	no	—
244	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	#41	—	4	4	no	—
246	#41	—	4	4	no	—
247	#41	—	4	4	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	#41	—	4	8	no	—
250	#41	—	4	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
267	C₂×D₄	—	2	2	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	8	no	—
270	C₂×D₄	—	4	32	no	—
271	C₂×D₄	—	4	32	no	—
272	C₂×D₄	—	4	2	no	—
273	C₂×D₄	—	4	2	no	—
274	C₂×D₄	—	4	8	no	—
275	C₂×D₄	—	4	2	no	—
276	C₂×D₄	—	4	2	no	—
277	C₂×D₄	—	4	2	no	—
278	C₂×D₄	—	4	4	no	—
279	C₂×D₄	—	4	4	no	—
280	C₂×D₄	—	4	4	no	—
281	C₂×D₄	—	4	2	no	—
282	C₂×D₄	—	4	4	no	—
283	C₂×D₄	—	4	4	no	—
284	C₂×D₄	—	4	4	no	—
285	C₂×D₄	—	4	8	no	—
286	C₂×D₄	—	4	8	no	—
287	C₂×D₄	—	4	8	no	—
288	C₂×D₄	—	4	4	no	—
289	C₂×D₄	—	4	8	no	—
290	C₂×D₄	—	4	8	no	—
291	C₂×D₄	—	4	8	no	—
292	C₂×D₄	—	4	16	no	—
293	C₂×D₄	—	8	8	no	—
294	C₂×D₄	—	8	16	no	—
295	C₂×D₄	—	8	32	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
311	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
312	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
313	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
314	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
320	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
322	Q₁₆	—	4	32	no	—
323	SD₁₆	—	4	32	no	—
324	M₁₆	—	2	4	no	—
325	M₁₆	—	2	8	no	—
326	M₁₆	—	4	4	no	—
327	M₁₆	—	4	4	no	—
328	M₁₆	#127	1	8	yes	complemented
329	C₂×C₈	—	2	4	no	—
330	C₂×C₈	—	2	8	no	—
331	C₂×C₈	—	4	4	no	—
332	C₂×C₈	—	4	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
335	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄⋊C₄	#127	1	8	yes	—
338	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
342	C₄²	—	2	4	no	—
343	C₄²	—	2	8	no	—
344	C₄²	—	2	8	no	—
345	C₄²	—	4	16	no	—
346	C₄²	—	4	8	no	—
347	C₄²	#120	1	2	yes	—
348	C₄²	#120	1	2	yes	—
349	C₄²	#121	1	4	yes	—
350	C₄²	#121	1	2	yes	—
351	C₄²	#121	1	2	yes	—
352	C₄²	#127	1	4	yes	—
353	C₄²	#127	1	8	yes	complemented
354	C₂³	—	2	4	no	—
355	C₂³	—	4	16	no	—
356	C₂³	—	4	2	no	—
357	C₂³	—	4	4	no	—
358	C₂³	—	4	8	no	—
359	C₂³	—	4	8	no	—
360	C₂³	—	4	4	no	—
361	C₂³	—	4	8	no	—
362	C₂³	—	4	16	no	—
363	C₂³	—	4	8	no	—
364	C₂³	—	8	32	no	—
365	C₂³	—	8	8	no	—
366	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
367	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
368	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
369	C₂³	D₄²	1	4	yes	—
370	Q₈	—	4	8	no	—
371	Q₈	—	4	4	no	—
372	Q₈	—	4	8	no	—
373	Q₈	—	4	4	no	—
374	Q₈	—	8	2	no	—
375	Q₈	—	8	2	no	—
376	Q₈	—	8	4	no	—
377	D₄	—	4	4	no	—
378	D₄	—	4	4	no	—
379	D₄	—	8	16	no	—
380	D₄	—	8	4	no	—
381	D₄	—	8	4	no	—
382	D₄	—	8	2	no	—
383	D₄	—	8	2	no	—
384	D₄	—	8	4	no	—
385	D₄	—	8	8	no	—
386	D₄	—	8	16	no	—
387	D₄	—	8	4	no	—
388	D₄	—	8	4	no	—
389	D₄	—	16	32	no	—
390	C₂×C₄	—	2	4	no	—
391	C₂×C₄	—	2	8	no	—
392	C₂×C₄	—	2	8	no	—
393	C₂×C₄	—	2	8	no	—
394	C₂×C₄	—	2	8	no	—
395	C₂×C₄	—	4	8	no	—
396	C₂×C₄	—	4	16	no	—
397	C₂×C₄	—	4	8	no	—
398	C₂×C₄	—	4	2	no	—
399	C₂×C₄	—	4	4	no	—
400	C₂×C₄	—	4	4	no	—
401	C₂×C₄	—	4	8	no	—
402	C₂×C₄	—	8	4	no	—
403	C₂×C₄	—	8	4	no	—
404	C₂×C₄	—	8	2	no	—
405	C₂×C₄	—	8	2	no	—
406	C₂×C₄	—	8	4	no	—
407	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
408	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
409	C₂×C₄	#455	1	8	yes	—
410	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
411	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
412	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
413	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
414	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
415	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
417	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
418	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
419	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
420	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
421	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
422	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
423	C₈	—	2	8	no	—
424	C₈	—	8	2	no	—
425	C₂²	—	2	2	no	—
426	C₂²	—	2	2	no	—
427	C₂²	—	2	8	no	—
428	C₂²	—	8	16	no	—
429	C₂²	—	8	2	no	—
430	C₂²	—	8	4	no	—
431	C₂²	—	8	8	no	—
432	C₂²	—	8	4	no	—
433	C₂²	—	8	8	no	—
434	C₂²	—	8	16	no	—
435	C₂²	—	16	8	no	—
436	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
437	C₂²	#2433	1	2	yes	—
438	C₂²	#2433	1	2	yes	—
439	C₂²	#2541	1	2	yes	—
440	C₂²	C₂×#455	1	4	yes	—
441	C₄	—	2	4	no	—
442	C₄	—	4	8	no	—
443	C₄	—	4	8	no	—
444	C₄	—	8	2	no	—
445	C₄	—	8	4	no	—
446	C₄	#2004	1	8	yes	complemented
447	C₄	#2433	1	2	yes	—
448	C₄	#2541	1	2	yes	—
449	C₄	#2541	1	2	yes	—
450	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
451	C₄	#2867	1	1	yes	characteristic
452	C₂	—	2	2	no	—
453	C₂	—	2	2	no	—
454	C₂	—	16	2	no	—
455	C₂	—	16	4	no	—
456	C₂	#15142	1	1	yes	characteristic
457	C₂	C₂×#2004	1	2	yes	—
458	C₂	#25744	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	#35274	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3152	C₂	semidirect
2. C₂×#2858	C₂	semidirect
4. C₂×#2004	C₂	semidirect
5. #21259	C₂	semidirect
6. C₂×#1965	C₂	semidirect
7. C₂×#1962	C₂	semidirect
8. C₄×#339	C₂	semidirect
65. C₂×C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
105. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
116. C₄³	D₄	semidirect
117. #339	D₄	semidirect
328. M₁₆	#127	semidirect
353. C₄²	#127	semidirect
446. C₄	#2004	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3152	2
C₂×#2858	2
#35274	2
C₂×#2004	2
#21259	2
C₂×#1965	2
C₂×#1962	2
C₄×#339	2