Subgroups — #413216

Order 512.

2300 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 451 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3156	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2020	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2005	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#23389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1979	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#3156	—	2	8	no	—
16	#3156	—	2	8	no	—
17	C₂×#497	—	2	4	no	—
18	C₂×#495	—	2	2	no	—
19	C₂×#494	—	2	4	no	—
20	C₂×#494	—	2	8	no	—
21	C₂×#494	—	2	2	no	—
22	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2020	—	2	8	no	—
30	#2005	—	2	16	no	—
31	#2001	—	2	8	no	—
32	#1979	—	2	8	no	—
33	#1974	—	2	4	no	—
34	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂×#137	—	2	8	no	—
40	C₂×#137	—	2	8	no	—
41	C₂×#137	—	2	8	no	—
42	C₂×#137	—	2	8	no	—
43	C₂×#137	—	4	4	no	—
44	C₂×#137	—	4	4	no	—
45	C₂×#135	—	2	4	no	—
46	C₂×#135	—	2	4	no	—
47	C₂×#135	—	2	2	no	—
48	C₂×#135	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
57	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
62	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×Q₁₆	D₄	1	8	yes	—
64	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
66	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#536	—	2	8	no	—
72	#536	—	2	8	no	—
73	#536	—	2	8	no	—
74	#536	—	4	4	no	—
75	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
76	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
80	C₂×#124	—	2	4	no	—
81	C₂×#123	—	4	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
83	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#497	—	2	32	no	—
87	#495	—	2	16	no	—
88	#494	—	2	32	no	—
89	#494	—	2	16	no	—
90	C₂×#108	—	2	2	no	—
91	C₂×#108	—	2	4	no	—
92	C₂×#104	—	2	4	no	—
93	C₂×#104	—	2	8	no	—
94	#419	—	2	8	no	—
95	#419	—	2	8	no	—
96	C₂×#103	—	2	8	no	—
97	C₂×#101	—	2	8	no	—
98	C₂×#101	—	2	8	no	—
99	C₂×#101	—	2	8	no	—
100	#408	—	2	4	no	—
101	#408	—	2	4	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
103	#405	—	2	4	no	—
104	#405	D₄	1	8	yes	—
105	C₂×#97	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
109	#341	D₄	1	4	yes	—
110	#340	D₄	1	4	yes	—
111	#339	D₄	1	8	yes	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	2	4	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	4	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	#137	—	4	16	no	—
142	#137	—	4	16	no	—
143	#137	—	4	16	no	—
144	#137	—	4	16	no	—
145	#135	—	4	4	no	—
146	#135	—	4	8	no	—
147	#135	—	4	4	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
162	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
168	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
169	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
172	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
173	C₂×D₈	—	2	4	no	—
174	C₂×D₈	—	2	2	no	—
175	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
176	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
177	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
180	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
181	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
182	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
198	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
199	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
200	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
201	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
202	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
203	#124	—	2	16	no	—
204	#124	—	4	8	no	—
205	#123	—	4	16	no	—
206	#123	—	4	16	no	—
207	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
208	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
209	#117	—	2	2	no	—
210	#117	—	2	2	no	—
211	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	#108	—	4	4	no	—
225	#104	—	4	8	no	—
226	#103	—	4	16	no	—
227	#101	—	4	16	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
229	#97	—	2	8	no	—
230	C₄×C₈	—	2	8	no	—
231	C₄×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂⁴	—	2	2	no	—
233	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
234	#41	—	4	2	no	—
235	#41	—	4	4	no	—
236	#41	—	4	2	no	—
237	#41	—	4	2	no	—
238	#41	—	4	4	no	—
239	#41	—	4	4	no	—
240	#41	—	4	2	no	—
241	#41	—	4	4	no	—
242	#41	—	4	4	no	—
243	#41	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
270	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
272	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
273	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
274	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
275	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
276	C₂×D₄	—	2	4	no	—
277	C₂×D₄	—	2	2	no	—
278	C₂×D₄	—	2	4	no	—
279	C₂×D₄	—	2	2	no	—
280	C₂×D₄	—	4	4	no	—
281	C₂×D₄	—	4	2	no	—
282	C₂×D₄	—	4	4	no	—
283	C₂×D₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
309	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
310	Q₁₆	—	4	32	no	—
311	Q₁₆	—	4	32	no	—
312	Q₁₆	—	4	16	no	—
313	Q₁₆	—	4	16	no	—
314	Q₁₆	—	4	4	no	—
315	SD₁₆	—	4	32	no	—
316	SD₁₆	—	4	8	no	—
317	D₈	—	4	4	no	—
318	M₁₆	—	2	4	no	—
319	M₁₆	—	2	4	no	—
320	M₁₆	—	2	4	no	—
321	M₁₆	—	4	4	no	—
322	M₁₆	—	4	2	no	—
323	M₁₆	—	4	2	no	—
324	M₁₆	#127	1	8	yes	—
325	C₂×C₈	—	2	2	no	—
326	C₂×C₈	—	2	4	no	—
327	C₂×C₈	—	2	2	no	—
328	C₂×C₈	—	2	4	no	—
329	C₂×C₈	—	2	4	no	—
330	C₂×C₈	—	2	4	no	—
331	C₂×C₈	—	2	4	no	—
332	C₂×C₈	—	4	2	no	—
333	C₂×C₈	—	4	4	no	—
334	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
335	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
336	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
337	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
338	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
339	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
340	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
341	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
342	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
343	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
344	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
345	C₄⋊C₄	#127	1	8	yes	—
346	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
347	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
348	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
349	C₄²	—	2	2	no	—
350	C₄²	—	2	4	no	—
351	C₄²	—	2	4	no	—
352	C₄²	—	2	4	no	—
353	C₄²	#127	1	4	yes	—
354	C₂³	—	2	4	no	—
355	C₂³	—	4	4	no	—
356	C₂³	—	4	8	no	—
357	C₂³	—	4	2	no	—
358	C₂³	#535	1	2	yes	—
359	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
360	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
361	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
362	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
363	Q₈	—	4	2	no	—
364	Q₈	—	4	8	no	—
365	Q₈	—	4	8	no	—
366	Q₈	—	4	8	no	—
367	Q₈	—	4	4	no	—
368	Q₈	—	4	8	no	—
369	Q₈	—	4	2	no	—
370	Q₈	—	8	4	no	—
371	Q₈	—	8	4	no	—
372	Q₈	—	8	4	no	—
373	Q₈	—	8	4	no	—
374	D₄	—	4	2	no	—
375	D₄	—	4	4	no	—
376	D₄	—	4	2	no	—
377	D₄	—	8	2	no	—
378	D₄	—	8	2	no	—
379	D₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	—	2	8	no	—
381	C₂×C₄	—	2	16	no	—
382	C₂×C₄	—	2	4	no	—
383	C₂×C₄	—	2	8	no	—
384	C₂×C₄	—	4	8	no	—
385	C₂×C₄	—	4	8	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	8	no	—
388	C₂×C₄	—	4	2	no	—
389	C₂×C₄	—	4	8	no	—
390	C₂×C₄	—	8	4	no	—
391	C₂×C₄	—	8	4	no	—
392	C₂×C₄	—	8	4	no	—
393	C₂×C₄	—	8	4	no	—
394	C₂×C₄	—	8	2	no	—
395	C₂×C₄	—	8	2	no	—
396	C₂×C₄	—	8	4	no	—
397	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
409	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
410	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
411	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
412	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
413	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
414	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
415	C₈	—	2	4	no	—
416	C₈	—	2	8	no	—
417	C₈	—	8	2	no	—
418	C₈	#392	1	4	yes	—
419	C₈	#392	1	4	yes	—
420	C₂²	—	2	2	no	—
421	C₂²	—	2	2	no	—
422	C₂²	—	2	4	no	—
423	C₂²	—	2	4	no	—
424	C₂²	—	8	2	no	—
425	C₂²	—	8	4	no	—
426	C₂²	—	8	8	no	—
427	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
428	C₂²	#2433	1	2	yes	—
429	C₂²	#2541	1	2	yes	—
430	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	#2657	1	1	yes	characteristic
432	C₂²	#3293	1	4	yes	—
433	C₄	—	2	8	no	—
434	C₄	—	4	8	no	—
435	C₄	—	8	2	no	—
436	C₄	—	8	8	no	—
437	C₄	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
439	C₄	#2433	1	2	yes	—
440	C₄	#2541	1	2	yes	—
441	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
442	C₄	#2867	1	1	yes	characteristic
443	C₂	—	2	1	no	—
444	C₂	—	2	1	no	—
445	C₂	—	2	2	no	—
446	C₂	—	16	2	no	—
447	C₂	#15142	1	1	yes	characteristic
448	C₂	#25806	1	4	yes	—
449	C₂	#28505	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#494	C₂	semidirect
3. C₂×#2020	C₂	semidirect
4. C₂×#2005	C₂	semidirect
5. #23389	C₂	semidirect
6. C₂×#1979	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3156	2
C₂²×#494	2
C₂×#2020	2
C₂×#2005	2
#23389	2
C₂×#1979	2
C₂×#1974	2
#10706	2