Subgroups — #413224

Order 512.

1716 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2057	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1845	C₂	1	2	yes	maximal
4	#14712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11324	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10841	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#107	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	#2868	—	2	8	no	—
13	C₂×#389	—	2	2	no	—
14	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#384	—	2	2	no	—
16	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2057	—	2	16	no	—
22	#1845	—	2	8	no	—
23	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
29	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
30	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#107	—	2	16	no	—
51	C₂×#107	—	2	16	no	—
52	C₂×#107	—	4	8	no	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
56	#389	—	2	8	no	—
57	#389	—	4	8	no	—
58	#384	—	2	16	no	—
59	#384	—	2	8	no	—
60	#384	—	2	4	no	—
61	#384	—	2	4	no	—
62	#384	—	2	2	no	—
63	#384	D₄	1	8	yes	—
64	#384	Q₈	1	4	yes	complemented
65	C₂×#95	—	2	2	no	—
66	C₂×#95	—	2	4	no	—
67	C₄³	—	2	4	no	—
68	#340	—	2	16	no	—
69	#336	D₄	1	8	yes	—
70	#336	Q₈	1	8	yes	complemented
71	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
72	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
74	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
79	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
90	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
91	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
92	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
121	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	D₈	1	8	yes	—
130	C₂×C₄²	Q₁₆	1	8	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
137	#107	—	4	32	no	—
138	C₄×C₈	—	2	16	no	—
139	#95	—	4	4	no	—
140	#95	—	4	8	no	—
141	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
143	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
144	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
145	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
146	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₈	—	2	8	no	—
195	C₂×C₈	—	2	8	no	—
196	C₂×C₈	—	2	8	no	—
197	C₂×C₈	—	2	8	no	—
198	C₂×C₈	—	2	8	no	—
199	C₂×C₈	—	2	8	no	—
200	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
201	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
211	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
212	C₄²	—	2	8	no	—
213	C₄²	—	2	8	no	—
214	C₄²	—	2	16	no	—
215	C₄²	—	2	16	no	—
216	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
217	C₄²	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
218	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
219	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
221	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
224	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
225	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
226	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
229	Q₈	—	8	32	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂×C₄	—	4	16	no	—
246	C₂×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂×C₄	—	8	4	no	—
250	C₂×C₄	—	8	4	no	—
251	C₂×C₄	—	8	2	no	—
252	C₂×C₄	—	8	8	no	—
253	C₂×C₄	—	8	4	no	—
254	C₂×C₄	—	8	2	no	—
255	C₂×C₄	—	8	2	no	—
256	C₂×C₄	—	8	2	no	—
257	C₂×C₄	—	8	4	no	—
258	C₂×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
260	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
261	C₂×C₄	#451	1	8	yes	—
262	C₂×C₄	#474	1	8	yes	—
263	C₂×C₄	#477	1	8	yes	—
264	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	#494	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	#500	1	8	yes	—
267	C₂×C₄	#500	1	8	yes	—
268	C₂×C₄	#501	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
279	C₈	—	2	16	no	—
280	C₂²	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	#2567	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#2660	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	#2868	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂×#447	1	2	yes	—
288	C₂²	C₂×#451	1	2	yes	—
289	C₂²	C₂×#474	1	2	yes	—
290	C₂²	C₂×#477	1	2	yes	—
291	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×#500	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂×#500	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#501	1	2	yes	—
298	C₂²	#3165	1	2	yes	—
299	C₂²	#3205	1	2	yes	—
300	C₂²	#3209	1	2	yes	—
301	C₂²	#3226	1	2	yes	—
302	C₂²	#3230	1	2	yes	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	2	8	no	—
306	C₄	—	8	4	no	—
307	C₄	—	8	8	no	—
308	C₄	—	16	2	no	—
309	C₄	#2057	1	16	yes	complemented
310	C₄	#2440	1	4	yes	—
311	C₄	#2551	1	4	yes	—
312	C₂	#15143	1	1	yes	characteristic
313	C₂	C₂×#2057	1	2	yes	—
314	C₂	#25721	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#25722	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#25813	1	2	yes	—
317	C₂	#28508	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#28511	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#29208	1	2	yes	—
320	C₂	#30304	1	2	yes	—
321	C₂	#33312	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#33316	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
55. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
64. #384	Q₈	semidirect
70. #336	Q₈	semidirect
200. C₂×C₈	C₄⋊Q₈	semidirect
309. C₄	#2057	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2868	2
C₂×#2057	2
C₂×#1845	2
#14712	2
#11324	2
#10841	2
C₄×#336	2