Subgroups — #413227

Order 512.

1620 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2058	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#2057	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1847	C₂	1	2	yes	maximal
5	#14707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11324	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11323	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10843	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10693	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	#2868	—	2	8	no	—
16	C₂×#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#384	—	2	2	no	—
19	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2058	—	2	8	no	—
25	#2057	—	2	8	no	—
26	#1847	—	2	8	no	—
27	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	#1436	—	2	2	no	—
32	#1436	—	2	2	no	—
33	C₄⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#107	—	2	8	no	—
60	C₂×#107	—	2	8	no	—
61	C₂×#107	—	4	4	no	—
62	C₂×#106	—	2	8	no	—
63	C₂×#106	—	2	8	no	—
64	C₂×#106	—	4	4	no	—
65	C₂×#97	—	2	4	no	—
66	C₂×#97	—	2	4	no	—
67	C₂×#97	Q₈	1	8	yes	complemented
68	#389	—	2	4	no	—
69	#389	—	2	4	no	—
70	#384	—	2	16	no	—
71	#384	—	2	8	no	—
72	#384	—	2	4	no	—
73	#384	D₄	1	8	yes	—
74	#382	—	2	2	no	—
75	#382	—	2	4	no	—
76	#382	Q₈	1	4	yes	complemented
77	C₂×#95	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₂×#95	—	2	1	no	—
82	C₂×#95	—	2	1	no	—
83	C₄³	—	2	4	no	—
84	#340	—	2	8	no	—
85	#340	—	2	8	no	—
86	#336	D₄	1	8	yes	—
87	#336	Q₈	1	8	yes	complemented
88	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
110	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	#107	—	4	16	no	—
163	#106	—	4	16	no	—
164	#97	—	2	16	no	—
165	#95	—	2	8	no	—
166	#95	—	4	4	no	—
167	#95	—	4	2	no	—
168	#95	—	4	2	no	—
169	#95	—	4	4	no	—
170	#95	—	4	4	no	—
171	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
174	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
175	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
176	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₄²	—	2	16	no	—
257	C₄²	—	2	16	no	—
258	C₄²	—	2	8	no	—
259	C₄²	—	2	8	no	—
260	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
261	C₄²	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
262	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
273	Q₈	—	8	32	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	1	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	1	no	—
303	C₂×C₄	—	8	1	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	1	no	—
306	C₂×C₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	1	no	—
310	C₂×C₄	—	8	1	no	—
311	C₂×C₄	—	8	1	no	—
312	C₂×C₄	—	8	1	no	—
313	C₂×C₄	—	8	1	no	—
314	C₂×C₄	—	8	1	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#501	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	16	no	—
334	C₂²	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2567	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#2660	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#2868	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#3003	1	2	yes	—
342	C₂²	#3004	1	2	yes	—
343	C₂²	#3079	1	2	yes	—
344	C₂²	#3079	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#501	1	2	yes	—
350	C₂²	#3165	1	2	yes	—
351	C₂²	#3165	1	2	yes	—
352	C₂²	#3165	1	2	yes	—
353	C₂²	#3217	1	2	yes	—
354	C₂²	#3218	1	2	yes	—
355	C₂²	#3238	1	2	yes	—
356	C₂²	#3239	1	2	yes	—
357	C₄	—	2	8	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	8	no	—
361	C₄	—	8	2	no	—
362	C₄	—	8	2	no	—
363	C₄	—	8	8	no	—
364	C₄	—	16	1	no	—
365	C₄	—	16	1	no	—
366	C₄	#2440	1	4	yes	—
367	C₄	#2551	1	4	yes	—
368	C₂	#15143	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#23552	1	2	yes	—
370	C₂	#25725	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#25726	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#25816	1	2	yes	—
373	C₂	#28519	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#28520	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#29213	1	2	yes	—
376	C₂	#30309	1	2	yes	—
377	C₂	#33314	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#33316	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
67. C₂×#97	Q₈	semidirect
76. #382	Q₈	semidirect
87. #336	Q₈	semidirect
240. C₂×C₈	C₄⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2868	2
C₂×#2058	2
C₂×#2057	2
C₂×#1847	2
#14707	2
#11324	2
#11323	2
#10843	2
#10693	2