Subgroups — #413237

Order 512.

1272 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2061	C₂	1	4	yes	maximal
3	#21171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#14687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11339	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#544	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2868	—	2	1	no	—
16	#2859	—	2	1	no	—
17	#2660	—	2	2	no	—
18	#2552	—	2	2	no	—
19	#2551	—	2	2	no	—
20	#2440	—	2	4	no	—
21	#2317	C₂²	1	2	yes	—
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2061	—	2	16	no	—
29	#1948	—	2	2	no	—
30	#1947	—	2	2	no	—
31	#1847	—	2	2	no	—
32	#1845	—	2	1	no	—
33	#1844	—	2	1	no	—
34	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	#1736	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	#544	—	2	8	no	—
43	#544	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×#125	—	2	2	no	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#428	—	2	8	no	—
61	#428	—	2	8	no	—
62	#428	—	4	4	no	—
63	C₂×#107	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	C₂×#106	—	2	2	no	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	Q₈	1	4	yes	complemented
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₄×M₁₆	Q₈	1	4	yes	complemented
72	C₂×#97	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	#398	—	2	8	no	—
75	#395	—	2	8	no	—
76	#389	—	2	4	no	—
77	#389	—	2	4	no	—
78	#389	—	2	4	no	—
79	#385	—	2	4	no	—
80	#384	—	2	4	no	—
81	#384	—	2	2	no	—
82	#384	—	2	1	no	—
83	#384	—	2	1	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#384	—	2	1	no	—
86	#384	—	2	1	no	—
87	#384	—	2	2	no	—
88	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
89	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#382	—	2	2	no	—
91	#382	—	2	8	no	—
92	#382	—	4	4	no	—
93	#382	D₄	1	2	yes	—
94	#380	—	2	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	#376	—	2	1	no	—
100	C₂×#95	—	2	8	no	—
101	C₄³	—	2	1	no	—
102	C₄³	—	2	2	no	—
103	C₄³	Q₈	1	4	yes	complemented
104	#343	—	2	8	no	—
105	#340	—	2	4	no	—
106	#339	—	2	8	no	—
107	#339	D₄	1	8	yes	—
108	#339	Q₈	1	8	yes	complemented
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
131	#125	—	4	8	no	—
132	#125	—	4	4	no	—
133	#125	—	4	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
135	#117	—	2	2	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
190	#107	—	4	8	no	—
191	#107	—	4	4	no	—
192	#106	—	4	8	no	—
193	#106	—	4	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	#97	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	2	no	—
199	#95	—	2	2	no	—
200	#95	—	2	4	no	—
201	#95	—	4	16	no	—
202	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
237	M₁₆	—	2	4	no	—
238	M₁₆	—	2	4	no	—
239	M₁₆	—	2	4	no	—
240	M₁₆	—	2	8	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	C₄⋊Q₈	1	8	yes	complemented
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
271	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	4	16	no	—
282	C₄²	—	4	2	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	—	4	4	no	—
286	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
288	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
289	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
290	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
291	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
292	C₄²	C₄⋊Q₈	1	8	yes	complemented
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
299	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
300	Q₈	—	16	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	—	8	8	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	#395	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#395	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#454	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#455	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
349	C₈	—	2	8	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2440	1	2	yes	—
360	C₂²	#2551	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂×#455	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#454	1	2	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	—	8	2	no	—
371	C₄	—	16	2	no	—
372	C₄	#2061	1	8	yes	complemented
373	C₄	#2440	1	2	yes	—
374	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2551	1	2	yes	—
376	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2660	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2868	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	#15143	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#2061	1	2	yes	—
383	C₂	#25744	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#25745	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#25829	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
68. #423	Q₈	semidirect
71. C₄×M₁₆	Q₈	semidirect
103. C₄³	Q₈	semidirect
108. #339	Q₈	semidirect
242. M₁₆	C₄⋊Q₈	semidirect
292. C₄²	C₄⋊Q₈	semidirect
372. C₄	#2061	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35275	2
C₂×#2061	2
#21171	2
#20800	2
#14687	2
#11339	2
#10857	2
#10839	2
C₄×#339	2