Subgroups — #413256

Order 512.

1480 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2057	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1942	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1845	C₂	1	2	yes	maximal
5	#15143	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11324	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10862	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#500	—	2	8	no	—
11	C₂×#500	—	2	4	no	—
12	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#395	—	2	4	no	—
20	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
22	#2057	—	2	8	no	—
23	#1942	—	2	4	no	—
24	#1845	—	2	8	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	#1444	—	2	4	no	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
31	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
48	#500	—	2	32	no	—
49	C₂×#107	—	2	4	no	—
50	C₂×#107	—	2	4	no	—
51	C₂×#107	—	2	4	no	—
52	C₂×#107	—	2	2	no	—
53	C₂×#107	—	2	2	no	—
54	C₂×#107	—	2	8	no	—
55	C₂×#107	—	2	8	no	—
56	C₂×#107	—	2	4	no	—
57	C₂×#107	—	2	2	no	—
58	C₂×#107	—	2	8	no	—
59	C₂×#107	—	4	4	no	—
60	C₂×#107	D₄	1	8	yes	—
61	C₂×#107	Q₈	1	4	yes	complemented
62	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
67	#395	—	4	16	no	—
68	#389	—	2	4	no	—
69	#389	—	2	4	no	—
70	#384	—	2	8	no	—
71	#384	—	4	4	no	—
72	C₂×#95	—	2	8	no	—
73	C₂×#95	—	2	2	no	—
74	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
76	#340	—	2	8	no	—
77	#340	—	2	4	no	—
78	#336	D₄	1	4	yes	—
79	#336	Q₈	1	8	yes	complemented
80	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
81	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
82	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
83	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
144	#107	—	2	16	no	—
145	#107	—	2	16	no	—
146	#107	—	2	8	no	—
147	#107	—	4	16	no	—
148	#107	—	4	4	no	—
149	C₄×C₈	—	2	8	no	—
150	C₄×C₈	—	2	16	no	—
151	#95	—	4	4	no	—
152	#95	—	4	16	no	—
153	#95	D₈	1	8	yes	—
154	#95	Q₁₆	1	8	yes	—
155	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
157	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
158	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
159	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
210	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
211	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
212	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
213	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
214	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
216	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	8	32	no	—
229	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
239	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
240	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
244	C₂³	#576	1	2	yes	—
245	C₂³	#578	1	2	yes	—
246	Q₈	—	8	32	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	4	16	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	8	no	—
269	C₂×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂×C₄	—	8	2	no	—
271	C₂×C₄	—	8	2	no	—
272	C₂×C₄	—	8	8	no	—
273	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	#494	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	#500	1	16	yes	complemented
276	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
294	C₈	—	2	4	no	—
295	C₈	—	2	8	no	—
296	C₈	#395	1	8	yes	complemented
297	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#2440	1	2	yes	—
299	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#2551	1	2	yes	—
301	C₂²	#2868	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂×#500	1	4	yes	—
307	C₂²	#3164	1	4	yes	—
308	C₂²	D₄×D₈	1	4	yes	—
309	C₂²	D₄×Q₁₆	1	4	yes	—
310	C₂²	#3334	1	2	yes	—
311	C₂²	#3338	1	2	yes	—
312	C₂²	Q₈×D₈	1	2	yes	—
313	C₂²	Q₈×Q₁₆	1	2	yes	—
314	C₄	—	2	4	no	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	2	16	no	—
317	C₄	—	8	4	no	—
318	C₄	—	8	8	no	—
319	C₄	—	16	2	no	—
320	C₄	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
322	C₄	#2440	1	2	yes	—
323	C₄	#2551	1	2	yes	—
324	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
325	C₄	#2660	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#15143	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#25780	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#26065	1	4	yes	—
330	C₂	#28527	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#28531	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#28813	1	4	yes	—
333	C₂	#33312	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#33319	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₄×#95 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
61. C₂×#107	Q₈	semidirect
66. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
79. #336	Q₈	semidirect
275. C₂×C₄	#500	semidirect
296. C₈	#395	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×#2057	2
C₂×#1942	2
C₂×#1845	2
#15143	2
#11324	2
#10862	2
C₈×#95	2