Subgroups — #413266

Order 512.

1072 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23566	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23562	C₂	1	2	yes	maximal
4	#21156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20803	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11333	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10871	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10711	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#3458	C₂²	1	2	yes	—
10	#3164	—	2	2	no	—
11	#3164	—	2	2	no	—
12	#3163	—	2	4	no	—
13	#3162	—	2	2	no	—
14	#3160	—	2	2	no	—
15	#2911	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2317	C₂²	1	2	yes	—
23	#2317	C₂²	1	4	yes	—
24	#2062	—	2	8	no	—
25	#2061	—	2	4	no	—
26	#2060	—	2	4	no	—
27	#1944	—	2	2	no	—
28	#1942	—	2	2	no	—
29	#1847	—	2	4	no	—
30	#1846	—	2	2	no	—
31	#1845	—	2	2	no	—
32	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
33	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1740	C₂²	1	4	yes	—
35	#1740	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1736	C₂²	1	2	yes	—
37	#1733	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#544	—	2	4	no	—
42	#544	—	2	4	no	—
43	#544	—	2	2	no	—
44	#544	—	2	2	no	—
45	#543	—	2	4	no	—
46	#533	—	2	4	no	—
47	#533	—	4	4	no	—
48	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	#501	—	2	8	no	—
54	#501	—	2	8	no	—
55	#500	—	2	2	no	—
56	#500	—	2	2	no	—
57	#499	—	2	4	no	—
58	#499	—	2	4	no	—
59	#498	—	2	4	no	—
60	#428	—	2	4	no	—
61	#428	—	2	4	no	—
62	#428	—	2	8	no	—
63	#428	—	4	4	no	—
64	#427	—	2	2	no	—
65	#427	—	2	4	no	—
66	#427	—	2	2	no	—
67	#427	—	2	2	no	—
68	#427	—	2	2	no	—
69	#427	—	2	2	no	—
70	#427	Q₈	1	4	yes	complemented
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#107	—	2	2	no	—
73	C₂×#107	—	2	2	no	—
74	C₂×#107	—	2	1	no	—
75	C₂×#107	—	2	1	no	—
76	C₂×#107	—	2	4	no	—
77	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×#106	—	2	1	no	—
80	C₂×#106	—	2	4	no	—
81	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
82	#405	—	2	2	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	#405	—	2	4	no	—
85	#405	Q₈	1	8	yes	complemented
86	C₂×#97	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
90	#389	—	2	4	no	—
91	#389	—	4	4	no	—
92	#385	—	2	8	no	—
93	#385	—	2	4	no	—
94	#384	—	2	2	no	—
95	#384	—	2	4	no	—
96	#382	—	2	2	no	—
97	#382	—	2	4	no	—
98	#344	Q₈	1	8	yes	complemented
99	#343	D₄	1	2	yes	—
100	#343	D₄	1	2	yes	—
101	#342	—	2	8	no	—
102	#342	D₄	1	4	yes	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#339	—	2	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
130	#125	—	2	8	no	—
131	#125	—	4	4	no	—
132	#125	—	4	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	#117	—	2	2	no	—
144	#117	—	2	2	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
151	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
152	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	#107	—	2	4	no	—
174	#107	—	2	4	no	—
175	#107	—	2	2	no	—
176	#107	—	2	2	no	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#107	—	2	2	no	—
179	#107	—	2	4	no	—
180	#107	—	4	8	no	—
181	#107	—	4	1	no	—
182	#107	—	4	1	no	—
183	#107	—	4	2	no	—
184	#106	—	2	8	no	—
185	#106	—	2	4	no	—
186	#106	—	2	4	no	—
187	#106	—	2	4	no	—
188	#106	—	4	8	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	#97	—	2	8	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	8	no	—
194	#95	—	4	8	no	—
195	#95	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
206	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
218	M₁₆	—	2	4	no	—
219	M₁₆	—	2	4	no	—
220	M₁₆	—	2	4	no	—
221	M₁₆	—	2	4	no	—
222	M₁₆	—	2	4	no	—
223	M₁₆	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	16	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	4	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	1	no	—
276	C₂³	—	4	1	no	—
277	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
279	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
280	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	16	4	no	—
283	Q₈	—	16	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	8	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	2	8	no	—
321	C₈	#395	1	2	yes	—
322	C₈	#395	1	2	yes	—
323	C₈	#395	1	4	yes	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	1	no	—
330	C₂²	—	4	1	no	—
331	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2440	1	2	yes	—
333	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2551	1	2	yes	—
335	C₂²	#2868	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	4	8	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	—	8	4	no	—
341	C₄	—	8	4	no	—
342	C₄	—	16	2	no	—
343	C₄	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#2440	1	2	yes	—
346	C₄	#2551	1	2	yes	—
347	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2660	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	2	1	no	—
351	C₂	—	2	1	no	—
352	C₂	—	2	2	no	—
353	C₂	#15143	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#25799	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#25800	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2433
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
70. #427	Q₈	semidirect
85. #405	Q₈	semidirect
98. #344	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60660	2
#23566	2
#23562	2
#21156	2
#20803	2
#11333	2
#10871	2
#10711	2