Subgroups — #413276

Order 512.

2088 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2023	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1957	C₂	1	2	yes	maximal
4	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11049	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10841	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	#2868	—	2	8	no	—
14	C₂×#390	—	2	2	no	—
15	C₂×#390	—	2	2	no	—
16	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#384	—	2	2	no	—
19	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2023	—	2	16	no	—
24	#1957	—	2	8	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
29	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
30	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
38	C₂×#127	—	2	4	no	—
39	C₂×#127	—	2	4	no	—
40	C₂×#127	—	2	2	no	—
41	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	complemented
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#102	—	2	16	no	—
57	C₂×#102	—	2	16	no	—
58	C₂×#102	—	4	8	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
62	#390	—	2	8	no	—
63	#390	—	2	8	no	—
64	#390	—	4	8	no	—
65	#390	—	4	8	no	—
66	#384	—	2	16	no	—
67	#384	—	2	8	no	—
68	#384	—	2	4	no	—
69	#384	—	2	4	no	—
70	#384	D₄	1	8	yes	—
71	C₄³	—	2	4	no	—
72	#340	—	2	16	no	—
73	#336	—	2	4	no	—
74	#336	D₄	1	8	yes	complemented
75	C₂⁵	—	2	2	no	—
76	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
77	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
78	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
79	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
80	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
95	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
110	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
112	#127	—	2	16	no	—
113	#127	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	D₈	1	8	yes	—
149	C₂×C₄²	SD₁₆	1	8	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
156	#102	—	4	32	no	—
157	C₄×C₈	—	4	8	no	—
158	C₂⁴	—	2	4	no	—
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	—	4	2	no	—
161	C₂⁴	—	4	2	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	—	4	2	no	—
165	C₂⁴	—	4	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
172	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
174	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	8	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	8	no	—
180	C₂×D₄	—	4	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	8	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	8	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	16	no	—
186	C₂×D₄	—	4	16	no	—
187	C₂×D₄	—	4	16	no	—
188	C₂×D₄	—	8	8	no	—
189	C₂×D₄	—	8	8	no	—
190	C₂×D₄	—	8	8	no	—
191	C₂×D₄	—	8	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
251	C₄²	—	2	8	no	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	2	16	no	—
254	C₄²	—	2	16	no	—
255	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
256	C₄²	#124	1	8	yes	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	—	8	4	no	—
264	C₂³	—	8	4	no	—
265	C₂³	—	8	4	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	—	8	4	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
291	Q₈	—	8	32	no	—
292	D₄	—	4	16	no	—
293	D₄	—	8	8	no	—
294	D₄	—	8	32	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	16	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	#393	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	#448	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	#474	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	#476	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	#486	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	#486	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	#489	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
339	C₈	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	8	no	—
344	C₂²	—	8	8	no	—
345	C₂²	—	16	4	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	—	16	2	no	—
348	C₂²	—	16	2	no	—
349	C₂²	—	16	2	no	—
350	C₂²	—	16	4	no	—
351	C₂²	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2436	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2640	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#447	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂×#448	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂×#474	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂×#476	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#486	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂×#486	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂×#489	1	2	yes	—
365	C₂²	#3141	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3205	1	2	yes	—
371	C₂²	#3206	1	2	yes	—
372	C₂²	#3226	1	2	yes	—
373	C₂²	#3227	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	8	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	8	8	no	—
378	C₄	—	16	2	no	—
379	C₄	#2023	1	16	yes	complemented
380	C₄	#2452	1	4	yes	—
381	C₄	#2491	1	4	yes	—
382	C₂	—	16	4	no	—
383	C₂	#15144	1	1	yes	characteristic
384	C₂	C₂×#2023	1	2	yes	—
385	C₂	#25718	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#25721	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#25903	1	2	yes	—
388	C₂	#28508	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#28509	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#29139	1	2	yes	—
391	C₂	#30203	1	2	yes	—
392	C₂	#33224	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#33230	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2868	C₂	semidirect
2. C₂×#2023	C₂	semidirect
5. #11049	C₂	semidirect
6. #10841	C₂	semidirect
7. C₄×#336	C₂	semidirect
41. C₂×#127	Q₈	semidirect
74. #336	D₄	semidirect
379. C₄	#2023	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2868	2
C₂×#2023	2
C₂×#1957	2
#14713	2
#11049	2
#10841	2
C₄×#336	2