Subgroups — #413315

Order 512.

1672 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2023	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1972	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#15144	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11121	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10863	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#498	—	2	8	no	—
12	C₂×#498	—	2	4	no	—
13	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#393	—	2	4	no	—
21	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
23	#2023	—	2	8	no	—
24	#1972	—	2	8	no	—
25	#1970	—	2	4	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1439	—	2	4	no	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
31	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
38	C₂²×D₈	Q₈	1	4	yes	complemented
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#498	—	2	32	no	—
55	C₂×#107	—	2	2	no	—
56	C₂×#107	—	2	4	no	—
57	C₂×#106	—	2	4	no	—
58	C₂×#106	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	8	no	—
61	C₂×#106	D₄	1	8	yes	—
62	C₂×#102	—	2	4	no	—
63	C₂×#102	—	2	8	no	—
64	C₂×#102	—	2	8	no	—
65	C₂×#102	—	2	8	no	—
66	C₂×#102	—	4	4	no	—
67	C₂×#97	—	2	4	no	—
68	C₂×#97	—	2	4	no	—
69	C₂×#97	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
72	#393	—	4	16	no	—
73	#390	—	2	8	no	—
74	#390	—	2	4	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#390	—	4	4	no	—
77	C₂×#95	—	2	8	no	—
78	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
79	#340	—	2	8	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	D₄	1	4	yes	—
82	C₂⁵	—	2	2	no	—
83	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
84	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
85	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
86	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂×D₈	—	2	8	no	—
103	C₂×D₈	—	2	16	no	—
104	C₂×D₈	—	4	4	no	—
105	C₂×D₈	—	4	8	no	—
106	C₂×D₈	—	4	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	#107	—	4	4	no	—
157	#106	—	2	16	no	—
158	#106	—	2	16	no	—
159	#102	—	4	16	no	—
160	#102	—	4	8	no	—
161	#97	—	4	8	no	—
162	C₄×C₈	—	2	8	no	—
163	#95	—	2	8	no	—
164	#95	—	4	16	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	—	4	4	no	—
171	C₂⁴	—	4	4	no	—
172	C₂⁴	—	4	4	no	—
173	C₂⁴	—	4	4	no	—
174	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
176	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
177	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
178	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
225	D₈	—	4	16	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
240	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	#124	1	8	yes	—
242	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	8	4	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	8	no	—
273	C₂³	—	8	8	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	—	8	8	no	—
277	C₂³	—	8	8	no	—
278	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#532	1	2	yes	—
280	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
281	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
284	C₂³	#577	1	4	yes	—
285	Q₈	—	8	32	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	8	no	—
289	D₄	—	8	2	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	4	4	no	—
330	C₈	#393	1	8	yes	complemented
331	C₂²	—	8	4	no	—
332	C₂²	—	8	16	no	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	16	8	no	—
336	C₂²	—	16	2	no	—
337	C₂²	—	16	2	no	—
338	C₂²	—	16	2	no	—
339	C₂²	—	16	2	no	—
340	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2452	1	2	yes	—
342	C₂²	#2491	1	2	yes	—
343	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
346	C₂²	#3154	1	2	yes	—
347	C₂²	#3173	1	4	yes	—
348	C₂²	#3184	1	4	yes	—
349	C₂²	#3265	1	8	yes	—
350	C₂²	#3354	1	4	yes	—
351	C₂²	#3384	1	4	yes	—
352	C₄	—	2	8	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	—	8	8	no	—
355	C₄	—	16	2	no	—
356	C₄	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2452	1	2	yes	—
359	C₄	#2491	1	2	yes	—
360	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2640	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	16	4	no	—
363	C₂	#15144	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#25783	1	2	yes	—
365	C₂	#26490	1	4	yes	—
366	C₂	#27804	1	4	yes	—
367	C₂	#28541	1	2	yes	—
368	C₂	#33245	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#33254	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₄×#95 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#498	C₂	semidirect
2. C₂×#2023	C₂	semidirect
5. #15144	C₂	semidirect
6. #11121	C₂	semidirect
7. #10863	C₂	semidirect
8. #10696	C₂	semidirect
38. C₂²×D₈	Q₈	semidirect
330. C₈	#393	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#498	2
C₂×#2023	2
C₂×#1972	2
C₂×#1970	2
#15144	2
#11121	2
#10863	2
#10696	2