Subgroups — #413342

Order 512.

1204 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2031	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1976	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11098	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10868	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
11	#3162	—	2	8	no	—
12	C₂×#501	—	2	4	no	—
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2031	—	2	16	no	—
23	#1976	—	2	8	no	—
24	#1975	—	2	4	no	—
25	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×#135	—	2	2	no	—
32	C₂×#135	—	2	4	no	—
33	C₂×#135	—	2	2	no	—
34	C₂×#135	—	2	4	no	—
35	C₂²×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂²×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	complemented
37	C₂²×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#533	—	2	8	no	—
43	#533	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×#125	—	2	2	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
48	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#501	—	2	32	no	—
52	C₂×#108	—	2	2	no	—
53	C₂×#108	—	2	4	no	—
54	#427	—	2	4	no	—
55	#427	—	2	8	no	—
56	#427	D₄	1	8	yes	—
57	C₂×#107	—	2	2	no	—
58	C₂×#107	—	2	2	no	—
59	C₂×#106	—	2	2	no	—
60	C₂×#106	—	2	2	no	—
61	#421	—	2	8	no	—
62	#421	—	2	8	no	—
63	C₂×#104	—	2	4	no	—
64	C₂×#104	—	2	8	no	—
65	C₂×#104	—	4	4	no	—
66	#410	—	2	8	no	—
67	#410	—	2	8	no	—
68	C₂×#99	—	4	4	no	—
69	#408	—	2	4	no	—
70	#408	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
72	#405	—	2	4	no	—
73	#405	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	4	no	—
75	C₂×#97	—	2	2	no	—
76	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	#344	—	2	8	no	—
79	#341	—	2	2	no	—
80	#340	—	2	2	no	—
81	#339	D₄	1	8	yes	—
82	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
83	C₂×#41	—	2	2	no	—
84	C₂×#41	—	2	4	no	—
85	C₂×#41	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	4	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
92	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	#135	—	4	4	no	—
99	#135	—	4	4	no	—
100	#135	—	4	4	no	—
101	#135	—	4	4	no	—
102	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
106	C₂×D₈	—	2	2	no	—
107	C₂×D₈	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
133	#125	—	2	8	no	—
134	#125	—	4	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	#108	—	4	4	no	—
158	#107	—	2	8	no	—
159	#107	—	2	8	no	—
160	#106	—	2	8	no	—
161	#106	—	2	8	no	—
162	#104	—	4	16	no	—
163	#104	—	4	8	no	—
164	#99	—	4	16	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
166	#97	—	2	8	no	—
167	#97	—	4	4	no	—
168	C₄×C₈	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
171	#41	—	4	2	no	—
172	#41	—	4	2	no	—
173	#41	—	4	4	no	—
174	#41	—	4	2	no	—
175	#41	—	4	4	no	—
176	#41	—	4	2	no	—
177	#41	—	4	4	no	—
178	#41	—	4	4	no	—
179	#41	—	4	4	no	—
180	#41	—	4	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
186	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
215	Q₁₆	—	4	4	no	—
216	SD₁₆	—	4	8	no	—
217	D₈	—	4	4	no	—
218	M₁₆	—	2	4	no	—
219	M₁₆	—	2	4	no	—
220	M₁₆	—	4	2	no	—
221	M₁₆	—	4	2	no	—
222	M₁₆	—	4	2	no	—
223	M₁₆	—	4	2	no	—
224	M₁₆	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	4	no	—
259	C₄²	#127	1	4	yes	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	8	4	no	—
264	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	#542	1	2	yes	—
266	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
267	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
269	Q₈	—	4	2	no	—
270	Q₈	—	4	4	no	—
271	Q₈	—	4	2	no	—
272	Q₈	—	8	16	no	—
273	D₄	—	4	2	no	—
274	D₄	—	4	4	no	—
275	D₄	—	4	2	no	—
276	D₄	—	8	2	no	—
277	D₄	—	8	2	no	—
278	D₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	8	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	4	no	—
291	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
309	C₈	—	2	4	no	—
310	C₈	—	4	4	no	—
311	C₈	—	8	2	no	—
312	C₈	#393	1	4	yes	—
313	C₈	#393	1	4	yes	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	8	2	no	—
320	C₂²	—	8	4	no	—
321	C₂²	—	16	4	no	—
322	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2452	1	2	yes	—
324	C₂²	#2491	1	2	yes	—
325	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2640	1	1	yes	characteristic
327	C₄	—	4	4	no	—
328	C₄	—	8	4	no	—
329	C₄	—	8	8	no	—
330	C₄	—	8	2	no	—
331	C₄	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#2452	1	2	yes	—
334	C₄	#2491	1	2	yes	—
335	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
337	C₂	—	2	1	no	—
338	C₂	—	2	2	no	—
339	C₂	—	2	2	no	—
340	C₂	—	2	1	no	—
341	C₂	—	16	2	no	—
342	C₂	#15144	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#29155	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#555
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2563
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3162	C₂	semidirect
2. C₂×#2031	C₂	semidirect
5. #11104	C₂	semidirect
6. #11098	C₂	semidirect
7. #10868	C₂	semidirect
8. #10707	C₂	semidirect
35. C₂²×Q₁₆	Q₈	semidirect
36. C₂²×SD₁₆	Q₈	semidirect
37. C₂²×D₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3162	2
C₂×#2031	2
C₂×#1976	2
C₂×#1975	2
#11104	2
#11098	2
#10868	2
#10707	2