Subgroups — #413343

Order 512.

1169 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#23472	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1976	C₂	1	2	yes	maximal
4	#21240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11109	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10872	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10699	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3458	C₂²	1	2	yes	—
11	#3164	—	2	4	no	—
12	#3163	—	2	4	no	—
13	#3162	—	2	2	no	—
14	#3160	—	2	2	no	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2911	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
21	#2879	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2031	—	2	16	no	—
25	#1976	—	2	4	no	—
26	#1976	—	2	4	no	—
27	#1975	—	2	2	no	—
28	#1974	—	2	2	no	—
29	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
30	#1733	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#135	—	2	1	no	—
36	C₂×#135	—	2	1	no	—
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	—	2	2	no	—
39	C₂×#135	—	2	2	no	—
40	C₂×#135	—	2	2	no	—
41	C₂×#135	—	2	1	no	—
42	C₂×#135	—	2	1	no	—
43	C₂²×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
44	C₂²×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	complemented
45	C₂²×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#544	—	2	8	no	—
51	#544	—	4	2	no	—
52	#543	—	4	2	no	—
53	#533	—	2	8	no	—
54	#533	—	2	4	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#501	—	2	16	no	—
59	#500	—	2	4	no	—
60	#499	—	2	4	no	—
61	#499	—	2	4	no	—
62	#498	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	—	2	1	no	—
64	C₂×#108	—	2	1	no	—
65	C₂×#108	—	2	2	no	—
66	C₂×#108	—	2	2	no	—
67	#428	—	2	8	no	—
68	#427	—	2	2	no	—
69	#427	—	2	4	no	—
70	#427	—	2	2	no	—
71	#427	D₄	1	4	yes	—
72	#427	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×#107	—	2	2	no	—
74	C₂×#106	—	2	2	no	—
75	#421	—	2	8	no	—
76	#421	—	2	8	no	—
77	#421	—	4	4	no	—
78	C₂×#104	—	2	8	no	—
79	C₂×#104	—	2	4	no	—
80	#410	—	2	8	no	—
81	#410	—	2	8	no	—
82	C₂×#99	—	4	4	no	—
83	#408	—	2	4	no	—
84	#408	—	2	4	no	—
85	#407	—	2	4	no	—
86	#405	—	2	2	no	—
87	#405	—	2	2	no	—
88	#405	—	2	2	no	—
89	#405	—	2	2	no	—
90	#405	—	2	2	no	—
91	#405	—	2	2	no	—
92	C₂×#97	—	2	2	no	—
93	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	#344	—	2	8	no	—
97	#339	—	2	8	no	—
98	#338	—	2	2	no	—
99	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
100	H(3,ℤ/4)	D₄	1	8	yes	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#135	—	4	1	no	—
115	#135	—	4	1	no	—
116	#135	—	4	2	no	—
117	#135	—	4	2	no	—
118	#135	—	4	2	no	—
119	#135	—	4	2	no	—
120	#135	—	4	2	no	—
121	#135	—	4	1	no	—
122	#135	—	4	1	no	—
123	#135	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×D₈	—	2	1	no	—
133	C₂×D₈	—	2	1	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
149	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
163	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
165	#125	—	2	8	no	—
166	#125	—	4	8	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
169	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	2	4	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
178	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	#108	—	4	1	no	—
190	#108	—	4	1	no	—
191	#108	—	4	2	no	—
192	#107	—	2	8	no	—
193	#107	—	2	4	no	—
194	#107	—	2	4	no	—
195	#106	—	2	8	no	—
196	#106	—	2	4	no	—
197	#106	—	2	4	no	—
198	#104	—	4	16	no	—
199	#104	—	4	8	no	—
200	#99	—	4	16	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
202	#97	—	2	4	no	—
203	#97	—	4	2	no	—
204	#97	—	4	2	no	—
205	C₄×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	C₄×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂⁴	—	2	2	no	—
210	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	#41	—	4	4	no	—
216	#41	—	4	2	no	—
217	#41	—	4	4	no	—
218	#41	—	4	4	no	—
219	#41	—	4	4	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
252	Q₁₆	—	4	1	no	—
253	Q₁₆	—	4	1	no	—
254	Q₁₆	—	4	2	no	—
255	SD₁₆	—	4	2	no	—
256	SD₁₆	—	4	2	no	—
257	SD₁₆	—	4	4	no	—
258	D₈	—	4	1	no	—
259	D₈	—	4	1	no	—
260	D₈	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	2	4	no	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	4	2	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	2	8	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	4	no	—
313	C₄²	#127	1	4	yes	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	8	1	no	—
317	C₂³	—	16	2	no	—
318	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#542	1	2	yes	—
320	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
321	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	Q₈	—	4	2	no	—
326	Q₈	—	16	8	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	16	4	no	—
344	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	4	4	no	—
364	C₈	—	8	2	no	—
365	C₈	#393	1	1	yes	characteristic
366	C₈	#393	1	1	yes	characteristic
367	C₈	#393	1	2	yes	—
368	C₈	#393	1	1	yes	characteristic
369	C₈	#393	1	1	yes	characteristic
370	C₈	#393	1	2	yes	—
371	C₂²	—	4	1	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	1	no	—
375	C₂²	—	4	1	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	16	4	no	—
379	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#2452	1	2	yes	—
381	C₂²	#2491	1	2	yes	—
382	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2640	1	1	yes	characteristic
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	—	8	8	no	—
387	C₄	—	8	2	no	—
388	C₄	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#2452	1	2	yes	—
391	C₄	#2491	1	2	yes	—
392	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
394	C₂	—	2	1	no	—
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	16	2	no	—
400	C₂	#15144	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2858
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#15144
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60660	C₂	semidirect
2. #23472	C₂	semidirect
5. #11109	C₂	semidirect
6. #11102	C₂	semidirect
7. #10872	C₂	semidirect
8. #10699	C₂	semidirect
43. C₂²×Q₁₆	Q₈	semidirect
44. C₂²×SD₁₆	Q₈	semidirect
45. C₂²×D₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60660	2
#23472	2
C₂×#1976	2
#21240	2
#11109	2
#11102	2
#10872	2
#10699	2