Subgroups — #413461

Order 512.

954 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#21248	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11151	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11099	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10867	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
15	#2896	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2079	—	2	4	no	—
21	#2078	—	2	4	no	—
22	#1979	—	2	2	no	—
23	#1978	—	2	2	no	—
24	#1977	—	2	4	no	—
25	#1974	—	2	2	no	—
26	#1974	—	2	2	no	—
27	#1772	—	2	2	no	—
28	#1772	—	2	2	no	—
29	#1742	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
33	#1728	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#135	—	2	1	no	—
36	C₂×#135	—	2	1	no	—
37	C₂×#135	—	2	1	no	—
38	C₂×#135	—	2	1	no	—
39	C₂×#135	—	2	4	no	—
40	C₂×#135	—	2	4	no	—
41	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#108	—	2	4	no	—
52	C₂×#108	—	2	2	no	—
53	C₂×#108	—	2	1	no	—
54	C₂×#108	—	2	1	no	—
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	C₂×#108	—	2	4	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	#427	—	2	2	no	—
61	#427	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×#104	—	2	4	no	—
65	C₂×#104	—	4	4	no	—
66	#419	—	2	4	no	—
67	#418	—	2	4	no	—
68	#417	—	2	8	no	—
69	#416	—	4	4	no	—
70	#413	—	2	8	no	—
71	#413	—	4	4	no	—
72	C₂×#101	—	2	4	no	—
73	C₂×#100	—	2	4	no	—
74	#408	—	2	2	no	—
75	#408	—	2	2	no	—
76	#408	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
78	#405	—	2	2	no	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	#405	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	#343	—	2	8	no	—
88	#341	—	2	2	no	—
89	#341	—	2	2	no	—
90	#339	—	2	4	no	—
91	#338	—	4	4	no	—
92	#336	—	4	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	#135	—	4	2	no	—
108	#135	—	4	2	no	—
109	#135	—	4	2	no	—
110	#135	—	4	2	no	—
111	#135	—	4	4	no	—
112	#135	—	4	4	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×D₈	—	2	1	no	—
120	C₂×D₈	—	2	1	no	—
121	C₂×D₈	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	#108	—	2	8	no	—
167	#108	—	4	4	no	—
168	#108	—	4	4	no	—
169	#108	—	4	2	no	—
170	#108	—	4	2	no	—
171	#107	—	2	4	no	—
172	#106	—	2	4	no	—
173	#104	—	4	8	no	—
174	#103	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	8	no	—
176	#101	—	4	8	no	—
177	#100	—	4	8	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
180	#97	—	4	2	no	—
181	#97	—	4	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	4	no	—
183	C₄×C₈	—	2	4	no	—
184	C₄×C₈	—	4	2	no	—
185	C₄×C₈	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	4	2	no	—
189	#41	—	4	2	no	—
190	#41	—	4	2	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	2	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	#41	—	4	4	no	—
196	#41	—	4	4	no	—
197	#41	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
229	Q₁₆	—	4	2	no	—
230	Q₁₆	—	4	2	no	—
231	SD₁₆	—	4	4	no	—
232	SD₁₆	—	4	4	no	—
233	D₈	—	4	2	no	—
234	D₈	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	2	4	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	—	4	2	no	—
238	M₁₆	—	4	2	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	4	2	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	—	4	2	no	—
243	M₁₆	—	4	4	no	—
244	M₁₆	—	4	4	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#126	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	#126	1	4	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₄²	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	8	4	no	—
286	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	#542	1	2	yes	—
288	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	#556	1	2	yes	—
291	Q₈	—	4	2	no	—
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	Q₈	—	4	2	no	—
294	D₄	—	4	2	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	2	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	4	4	no	—
332	C₈	—	8	4	no	—
333	C₈	—	8	2	no	—
334	C₈	#397	1	2	yes	—
335	C₈	#397	1	2	yes	—
336	C₈	#397	1	2	yes	—
337	C₈	#397	1	2	yes	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	16	4	no	—
346	C₂²	#2447	1	2	yes	—
347	C₂²	#2512	1	2	yes	—
348	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2592	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2624	1	1	yes	characteristic
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	8	2	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2445	1	2	yes	—
356	C₄	#2513	1	2	yes	—
357	C₄	#2535	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2854	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	2	1	no	—
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	2	no	—
364	C₂	—	16	2	no	—
365	C₂	#15147	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#28249	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#555
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2537
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23646	C₂	semidirect
4. C₂×#1772	C₂	semidirect
5. #11151	C₂	semidirect
6. #11099	C₂	semidirect
7. #10867	C₂	semidirect
8. #10864	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23646	2
#21248	2
C₂×#1974	2
C₂×#1772	2
#11151	2
#11099	2
#10867	2
#10864	2