Subgroups — #413739

Order 512.

1704 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2094	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2093	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2092	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1961	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#14687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10693	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#390	—	2	4	no	—
16	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2094	—	2	8	no	—
25	#2093	—	2	8	no	—
26	#2092	—	2	16	no	—
27	#1961	—	2	8	no	—
28	#1847	—	2	8	no	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
32	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×#127	—	2	4	no	—
36	C₂×#127	—	2	4	no	—
37	C₂×#127	—	2	2	no	—
38	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#107	—	2	8	no	—
52	C₂×#107	—	2	8	no	—
53	C₂×#107	—	2	8	no	—
54	C₂×#106	—	2	8	no	—
55	C₂×#106	—	2	8	no	—
56	C₂×#106	—	2	8	no	—
57	C₂×#102	—	2	8	no	—
58	C₂×#102	—	2	8	no	—
59	C₂×#102	—	2	8	no	—
60	C₂×#102	—	2	8	no	—
61	C₂×#102	—	2	8	no	—
62	C₂×#102	—	2	8	no	—
63	C₂×#97	—	2	4	no	—
64	C₂×#97	—	2	4	no	—
65	C₂×#97	D₄	1	8	yes	—
66	#390	—	2	8	no	—
67	#390	—	2	4	no	—
68	#390	—	2	4	no	—
69	#390	—	4	16	no	—
70	#384	—	2	4	no	—
71	#384	—	2	4	no	—
72	#384	—	2	4	no	—
73	#382	—	2	8	no	—
74	#382	—	2	4	no	—
75	#382	—	2	4	no	—
76	C₂×#95	—	2	4	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₄³	—	2	4	no	—
79	#336	D₄	1	8	yes	complemented
80	#336	D₄	1	8	yes	complemented
81	C₂⁵	—	2	2	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
96	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	#127	—	2	16	no	—
112	#127	—	4	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
148	#107	—	4	16	no	—
149	#106	—	4	16	no	—
150	#102	—	4	16	no	—
151	#102	—	4	16	no	—
152	#97	—	2	16	no	—
153	#95	—	4	8	no	—
154	#95	—	4	8	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	—	4	2	no	—
157	C₂⁴	—	4	2	no	—
158	C₂⁴	—	4	2	no	—
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	—	4	2	no	—
161	C₂⁴	—	4	2	no	—
162	C₂⁴	—	4	8	no	—
163	C₂⁴	—	4	8	no	—
164	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×D₄	—	2	8	no	—
166	C₂×D₄	—	2	8	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	32	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	16	no	—
183	C₂×D₄	—	8	16	no	—
184	C₂×D₄	—	8	8	no	—
185	C₂×D₄	—	8	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	8	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	#127	1	16	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
239	C₄²	—	2	8	no	—
240	C₄²	—	2	8	no	—
241	C₄²	—	4	16	no	—
242	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
243	C₄²	#123	1	8	yes	—
244	C₂³	—	4	16	no	—
245	C₂³	—	4	4	no	—
246	C₂³	—	4	4	no	—
247	C₂³	—	4	4	no	—
248	C₂³	—	8	8	no	—
249	C₂³	—	8	2	no	—
250	C₂³	—	8	4	no	—
251	C₂³	—	8	4	no	—
252	C₂³	—	8	4	no	—
253	C₂³	—	8	4	no	—
254	C₂³	—	8	4	no	—
255	C₂³	—	8	4	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	8	no	—
258	C₂³	—	8	8	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	—	8	2	no	—
261	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
269	C₂³	#575	1	4	yes	—
270	D₄	—	4	8	no	—
271	D₄	—	4	8	no	—
272	D₄	—	8	32	no	—
273	D₄	—	8	4	no	—
274	D₄	—	8	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	#399	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
312	C₈	—	2	16	no	—
313	C₂²	—	8	4	no	—
314	C₂²	—	8	8	no	—
315	C₂²	—	8	8	no	—
316	C₂²	—	8	8	no	—
317	C₂²	—	16	4	no	—
318	C₂²	—	16	4	no	—
319	C₂²	—	16	2	no	—
320	C₂²	—	16	2	no	—
321	C₂²	—	16	4	no	—
322	C₂²	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2658	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2867	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#3077	1	4	yes	—
330	C₂²	#3094	1	4	yes	—
331	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
332	C₂²	#3150	1	2	yes	—
333	C₂²	#3151	1	2	yes	—
334	C₂²	#3151	1	2	yes	—
335	C₂²	#3153	1	2	yes	—
336	C₂²	#3153	1	2	yes	—
337	C₂²	#3234	1	4	yes	—
338	C₂²	#3235	1	4	yes	—
339	C₄	—	2	8	no	—
340	C₄	—	2	8	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	16	2	no	—
343	C₄	—	16	2	no	—
344	C₄	—	16	2	no	—
345	C₄	#2501	1	4	yes	—
346	C₄	#2542	1	4	yes	—
347	C₂	—	16	4	no	—
348	C₂	#15155	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#23731	1	2	yes	—
350	C₂	#27917	1	2	yes	—
351	C₂	#27918	1	2	yes	—
352	C₂	#28516	1	2	yes	—
353	C₂	#28521	1	2	yes	—
354	C₂	#30283	1	2	yes	—
355	C₂	#33304	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33306	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2094	C₂	semidirect
2. C₂×#2093	C₂	semidirect
3. C₂×#2092	C₂	semidirect
5. C₂×#1847	C₂	semidirect
7. #14687	C₂	semidirect
8. #10693	C₂	semidirect
79. #336	D₄	semidirect
80. #336	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2094	2
C₂×#2093	2
C₂×#2092	2
C₂×#1961	2
C₂×#1847	2
#14713	2
#14687	2
#10693	2