Subgroups — #414061

Order 512.

996 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 446 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23452	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1993	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11249	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11105	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#10865	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#10774	C₂	1	2	yes	maximal
12	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2097	—	2	2	no	—
24	#2092	—	2	2	no	—
25	#2024	—	2	2	no	—
26	#2023	—	2	2	no	—
27	#1993	—	2	2	no	—
28	#1993	—	2	2	no	—
29	#1753	—	2	2	no	—
30	#1752	—	2	2	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
36	#1736	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
39	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	4	2	no	—
47	C₂×#131	—	4	2	no	—
48	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	complemented
49	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#108	—	2	4	no	—
67	C₂×#108	—	2	4	no	—
68	C₂×#108	—	4	2	no	—
69	#428	—	2	4	no	—
70	#428	—	4	2	no	—
71	C₂×#107	—	2	2	no	—
72	C₂×#106	—	2	2	no	—
73	#417	—	2	4	no	—
74	#417	—	2	4	no	—
75	#417	—	4	2	no	—
76	#417	—	4	2	no	—
77	C₂×#103	—	2	2	no	—
78	C₂×#103	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	#408	—	2	2	no	—
82	#408	Q₈	1	4	yes	complemented
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
84	#405	—	4	2	no	—
85	C₂×#97	—	2	1	no	—
86	C₂×#97	—	4	2	no	—
87	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	#391	D₄	1	2	yes	—
91	#390	D₄	1	2	yes	—
92	#386	—	2	1	no	—
93	#386	—	2	1	no	—
94	#382	—	2	2	no	—
95	#382	—	2	2	no	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂×#95	—	2	1	no	—
98	C₂×#95	—	2	1	no	—
99	#343	—	2	4	no	—
100	#343	—	4	2	no	—
101	#343	—	4	2	no	—
102	#343	—	4	2	no	—
103	#341	—	2	4	no	—
104	#340	—	2	2	no	—
105	#340	—	2	2	no	—
106	#340	—	2	4	no	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	#336	—	2	2	no	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#336	—	2	2	no	—
111	#336	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	1	no	—
113	C₂×#41	—	2	1	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	#131	—	4	8	no	—
133	#131	—	4	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
154	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
174	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	#108	—	4	8	no	—
204	#107	—	4	4	no	—
205	#106	—	4	4	no	—
206	#103	—	4	4	no	—
207	#103	—	4	4	no	—
208	#102	—	4	4	no	—
209	#102	—	4	4	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
211	#97	—	4	2	no	—
212	#97	—	4	2	no	—
213	#97	—	4	2	no	—
214	C₄×C₈	—	4	2	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	#95	—	2	2	no	—
217	#95	—	4	2	no	—
218	#95	—	4	2	no	—
219	C₂⁴	—	2	1	no	—
220	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	2	4	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
236	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	1	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	4	no	—
280	M₁₆	—	2	4	no	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	—	4	8	no	—
283	M₁₆	—	4	2	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	—	4	2	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	—	4	2	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	M₁₆	—	4	2	no	—
290	M₁₆	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	1	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	1	no	—
296	C₂×C₈	—	2	1	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	4	8	no	—
305	C₂×C₈	—	4	1	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	4	1	no	—
308	C₂×C₈	—	4	1	no	—
309	C₂×C₈	—	4	1	no	—
310	C₂×C₈	—	4	2	no	—
311	C₂×C₈	—	4	2	no	—
312	C₂×C₈	—	4	2	no	—
313	C₂×C₈	—	4	2	no	—
314	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
315	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
316	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
331	C₄²	—	2	2	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	4	no	—
334	C₄²	—	4	1	no	—
335	C₄²	—	4	1	no	—
336	C₂³	—	2	2	no	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	—	4	1	no	—
340	C₂³	—	4	1	no	—
341	C₂³	—	4	2	no	—
342	C₂³	—	4	2	no	—
343	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	#551	1	2	yes	—
347	C₂³	#559	1	2	yes	—
348	Q₈	—	2	4	no	—
349	Q₈	—	4	2	no	—
350	Q₈	—	8	16	no	—
351	D₄	—	2	4	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	1	no	—
365	C₂×C₄	—	4	1	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	16	2	no	—
381	C₂×C₄	—	16	2	no	—
382	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
400	C₈	—	2	4	no	—
401	C₈	—	2	2	no	—
402	C₈	—	2	2	no	—
403	C₈	—	4	2	no	—
404	C₈	—	4	2	no	—
405	C₈	—	4	4	no	—
406	C₈	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	2	2	no	—
409	C₂²	—	2	2	no	—
410	C₂²	—	2	2	no	—
411	C₂²	—	2	2	no	—
412	C₂²	—	2	2	no	—
413	C₂²	—	4	2	no	—
414	C₂²	—	4	4	no	—
415	C₂²	—	8	2	no	—
416	C₂²	—	8	1	no	—
417	C₂²	—	8	1	no	—
418	C₂²	#2534	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	#2544	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2589	1	2	yes	—
421	C₂²	#2607	1	2	yes	—
422	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#3068	1	2	yes	—
424	C₂²	#3069	1	2	yes	—
425	C₄	—	4	2	no	—
426	C₄	—	4	2	no	—
427	C₄	—	4	2	no	—
428	C₄	—	8	2	no	—
429	C₄	—	8	4	no	—
430	C₄	—	16	2	no	—
431	C₄	#2396	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#2549	1	2	yes	—
433	C₄	#2557	1	2	yes	—
434	C₄	#2564	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#2580	1	1	yes	characteristic
436	C₄	#2626	1	1	yes	characteristic
437	C₂	—	2	2	no	—
438	C₂	—	2	2	no	—
439	C₂	—	8	2	no	—
440	C₂	#15161	1	1	yes	characteristic
441	C₂	#28137	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#28138	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#28636	1	2	yes	—
444	C₂	#33223	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1993	C₂	semidirect
5. #11382	C₂	semidirect
6. #11355	C₂	semidirect
7. #11249	C₂	semidirect
9. #10896	C₂	semidirect
10. #10865	C₂	semidirect
48. C₂×#131	Q₈	semidirect
82. #408	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23733	2
#23452	2
C₂×#1993	2
#20384	2
#11382	2
#11355	2
#11249	2
#11105	2
#10896	2
#10865	2
#10774	2