Subgroups — #414144

Order 512.

1190 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2063	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23505	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1931	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11127	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10981	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10943	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#10865	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2085	—	2	4	no	—
28	#2063	—	2	8	no	—
29	#2041	—	2	4	no	—
30	#1961	—	2	2	no	—
31	#1961	—	2	2	no	—
32	#1931	—	2	8	no	—
33	#1771	—	2	2	no	—
34	#1770	—	2	2	no	—
35	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
38	#1736	C₂²	1	2	yes	—
39	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	—	2	4	no	—
52	C₂×#127	—	2	2	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	4	2	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#108	—	4	2	no	—
62	#428	—	2	4	no	—
63	#428	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	—	2	2	no	—
66	#424	—	2	2	no	—
67	#424	D₄	1	4	yes	complemented
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	#418	—	2	4	no	—
70	#418	—	2	4	no	—
71	#418	—	2	4	no	—
72	#418	—	4	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×#102	—	2	4	no	—
80	C₂×#102	—	2	4	no	—
81	C₂×#102	—	2	4	no	—
82	C₂×#100	—	2	4	no	—
83	C₂×#100	—	2	4	no	—
84	C₂×#100	—	2	4	no	—
85	C₂×#100	—	2	4	no	—
86	C₂×#100	—	2	4	no	—
87	C₂×#100	—	4	2	no	—
88	#405	—	2	2	no	—
89	#405	—	4	2	no	—
90	#405	D₄	1	4	yes	complemented
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×#97	—	2	1	no	—
93	C₂×#97	—	4	2	no	—
94	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
98	#389	D₄	1	4	yes	—
99	#385	—	2	2	no	—
100	#382	—	2	2	no	—
101	#382	—	2	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×#95	—	2	2	no	—
104	#343	—	2	4	no	—
105	#343	—	2	4	no	—
106	#341	—	2	4	no	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	#336	—	2	2	no	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#336	—	2	2	no	—
111	#336	—	2	2	no	—
112	C₂⁵	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
129	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
168	#127	—	2	8	no	—
169	#127	—	4	8	no	—
170	#127	—	4	4	no	—
171	#117	—	2	1	no	—
172	#117	—	2	1	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	#108	—	4	8	no	—
195	#107	—	4	4	no	—
196	#106	—	4	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
198	#102	—	4	8	no	—
199	#102	—	4	4	no	—
200	#102	—	4	4	no	—
201	#102	—	4	8	no	—
202	#102	—	4	8	no	—
203	#100	—	2	16	no	—
204	#100	—	4	8	no	—
205	#97	—	2	4	no	—
206	#97	—	4	2	no	—
207	#97	—	4	2	no	—
208	#97	—	4	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	4	no	—
210	C₄×C₈	—	4	2	no	—
211	#95	—	2	4	no	—
212	#95	—	4	4	no	—
213	C₂⁴	—	2	4	no	—
214	C₂⁴	—	4	2	no	—
215	C₂⁴	—	4	2	no	—
216	C₂⁴	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	—	4	2	no	—
218	C₂⁴	—	4	2	no	—
219	C₂⁴	—	4	2	no	—
220	C₂⁴	—	8	8	no	—
221	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	16	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	8	8	no	—
252	C₂×D₄	—	8	8	no	—
253	C₂×D₄	—	8	32	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
273	M₁₆	—	2	4	no	—
274	M₁₆	—	2	4	no	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	M₁₆	—	4	2	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	2	no	—
283	M₁₆	—	4	2	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	1	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	4	1	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	1	no	—
301	C₂×C₈	—	4	1	no	—
302	C₂×C₈	—	4	1	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
317	C₄⋊C₄	#127	1	4	yes	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	4	1	no	—
327	C₄²	—	4	1	no	—
328	C₂³	—	2	4	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	4	4	no	—
332	C₂³	—	8	8	no	—
333	C₂³	—	8	8	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	2	no	—
338	C₂³	—	8	8	no	—
339	C₂³	—	16	4	no	—
340	C₂³	—	16	4	no	—
341	C₂³	—	16	4	no	—
342	C₂³	—	16	4	no	—
343	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	#551	1	2	yes	—
347	C₂³	#556	1	2	yes	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	8	32	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	2	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	4	no	—
367	C₂×C₄	—	16	2	no	—
368	C₂×C₄	—	16	2	no	—
369	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
387	C₈	—	2	2	no	—
388	C₈	—	2	2	no	—
389	C₈	—	2	4	no	—
390	C₈	—	4	2	no	—
391	C₈	—	4	4	no	—
392	C₈	—	4	2	no	—
393	C₈	—	8	2	no	—
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	4	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	8	8	no	—
400	C₂²	—	16	4	no	—
401	C₂²	—	16	4	no	—
402	C₂²	—	16	4	no	—
403	C₂²	—	16	4	no	—
404	C₂²	—	16	4	no	—
405	C₂²	—	16	4	no	—
406	C₂²	#2534	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#2545	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#2560	1	2	yes	—
409	C₂²	#2601	1	2	yes	—
410	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#3068	1	4	yes	—
412	C₄	—	4	4	no	—
413	C₄	—	4	4	no	—
414	C₄	—	8	2	no	—
415	C₄	—	16	2	no	—
416	C₄	#2392	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#2540	1	2	yes	—
419	C₄	#2543	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#2558	1	2	yes	—
421	C₄	#2618	1	1	yes	characteristic
422	C₂	—	2	2	no	—
423	C₂	—	2	2	no	—
424	C₂	—	16	4	no	—
425	C₂	#15163	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#28137	1	2	yes	—
427	C₂	#28674	1	2	yes	—
428	C₂	#33193	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23659	C₂	semidirect
2. C₂×#2063	C₂	semidirect
5. C₂×#1931	C₂	semidirect
6. #20436	C₂	semidirect
7. #11355	C₂	semidirect
8. #11127	C₂	semidirect
10. #10943	C₂	semidirect
11. #10865	C₂	semidirect
67. #424	D₄	semidirect
90. #405	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23659	2
C₂×#2063	2
#23505	2
C₂×#1961	2
C₂×#1931	2
#20436	2
#11355	2
#11127	2
#10981	2
#10943	2
#10865	2