Subgroups — #414615

Order 512.

1718 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 448 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3077	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11144	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#11027	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	#3077	—	2	8	no	—
13	#3077	—	2	8	no	—
14	C₂×#478	—	2	4	no	—
15	C₂×#476	—	2	2	no	—
16	C₂×#474	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄×D₈	—	2	8	no	—
20	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1984	—	2	2	no	—
29	#1984	—	2	2	no	—
30	#1800	—	2	8	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	#1729	C₂²	1	2	yes	—
35	#1729	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	Q₈	1	4	yes	complemented
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#533	—	2	4	no	—
48	#533	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#478	—	2	32	no	—
69	#476	—	2	16	no	—
70	#474	—	2	16	no	—
71	C₄×D₈	—	2	16	no	—
72	C₄×D₈	—	2	16	no	—
73	#428	—	2	8	no	—
74	#428	—	2	8	no	—
75	C₂×#107	—	2	2	no	—
76	C₂×#107	—	2	4	no	—
77	C₂×#107	—	2	4	no	—
78	C₂×#106	—	2	4	no	—
79	#423	—	2	4	no	—
80	#423	—	2	4	no	—
81	#423	D₄	1	8	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
86	#418	—	2	8	no	—
87	#418	—	2	8	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#100	—	2	8	no	—
94	C₂×#100	—	2	8	no	—
95	C₂×#100	—	4	4	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
99	#343	—	2	8	no	—
100	#341	—	2	4	no	—
101	#341	—	4	2	no	—
102	#336	—	2	4	no	—
103	#336	—	2	4	no	—
104	C₂⁵	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
127	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂×D₈	—	2	8	no	—
131	C₂×D₈	—	2	16	no	—
132	C₂×D₈	—	2	8	no	—
133	C₂×D₈	—	2	16	no	—
134	C₂×D₈	—	2	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	#125	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
165	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	8	no	—
167	C₄×D₄	—	2	8	no	—
168	C₄×D₄	—	2	8	no	—
169	C₄×D₄	—	2	8	no	—
170	C₄×D₄	—	4	4	no	—
171	C₄×D₄	—	4	4	no	—
172	C₄×D₄	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	4	4	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	#107	—	2	8	no	—
201	#107	—	2	16	no	—
202	#106	—	2	16	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
207	#102	—	2	16	no	—
208	#102	—	2	16	no	—
209	#102	—	2	16	no	—
210	#100	—	4	16	no	—
211	C₄×C₈	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂⁴	—	2	4	no	—
214	C₂⁴	—	2	4	no	—
215	C₂⁴	—	2	4	no	—
216	C₂⁴	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	—	4	2	no	—
218	C₂⁴	—	4	2	no	—
219	C₂⁴	—	4	2	no	—
220	C₂⁴	—	8	4	no	—
221	C₂⁴	—	8	4	no	—
222	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
285	D₈	—	2	32	no	—
286	M₁₆	—	2	8	no	—
287	M₁₆	—	2	8	no	—
288	M₁₆	—	4	4	no	—
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	M₁₆	—	4	4	no	—
291	M₁₆	—	4	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	8	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	—	4	4	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	#120	1	2	yes	—
324	C₄²	#120	1	2	yes	—
325	C₄²	#120	1	4	yes	—
326	C₄²	#120	1	4	yes	—
327	C₄²	#127	1	2	yes	—
328	C₄²	#127	1	2	yes	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	8	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	4	4	no	—
338	C₂³	—	8	4	no	—
339	C₂³	—	8	8	no	—
340	C₂³	—	8	8	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	—	8	8	no	—
344	C₂³	—	8	8	no	—
345	C₂³	—	8	4	no	—
346	C₂³	—	8	4	no	—
347	C₂³	—	8	4	no	—
348	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
349	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
350	C₂³	#552	1	2	yes	—
351	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
352	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
353	Q₈	—	8	4	no	—
354	Q₈	—	8	4	no	—
355	D₄	—	2	8	no	—
356	D₄	—	2	8	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	4	no	—
359	D₄	—	4	4	no	—
360	D₄	—	4	4	no	—
361	D₄	—	4	4	no	—
362	D₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	8	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	8	16	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	16	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
401	C₈	—	2	4	no	—
402	C₈	—	4	2	no	—
403	C₈	—	4	8	no	—
404	C₈	—	8	2	no	—
405	C₂²	—	2	4	no	—
406	C₂²	—	2	2	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	2	2	no	—
409	C₂²	—	2	2	no	—
410	C₂²	—	4	8	no	—
411	C₂²	—	8	8	no	—
412	C₂²	—	8	8	no	—
413	C₂²	—	8	8	no	—
414	C₂²	—	8	8	no	—
415	C₂²	—	8	8	no	—
416	C₂²	—	8	8	no	—
417	C₂²	—	8	4	no	—
418	C₂²	—	8	4	no	—
419	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2415	1	2	yes	—
421	C₂²	#2417	1	2	yes	—
422	C₂²	#2536	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#2538	1	1	yes	characteristic
424	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
425	C₂²	#3067	1	2	yes	—
426	C₄	—	2	2	no	—
427	C₄	—	2	2	no	—
428	C₄	—	2	2	no	—
429	C₄	—	8	2	no	—
430	C₄	—	8	4	no	—
431	C₄	—	8	2	no	—
432	C₄	#2018	1	4	yes	—
433	C₄	#2407	1	2	yes	—
434	C₄	#2409	1	2	yes	—
435	C₄	#2540	1	1	yes	characteristic
436	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#2616	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#2848	1	1	yes	characteristic
439	C₂	—	2	2	no	—
440	C₂	—	2	2	no	—
441	C₂	—	8	8	no	—
442	C₂	#15177	1	1	yes	characteristic
443	C₂	C₂×#2018	1	1	yes	characteristic
444	C₂	#23438	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#28217	1	2	yes	—
446	C₂	#28295	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3077	C₂	semidirect
3. #21300	C₂	semidirect
4. C₂×#1800	C₂	semidirect
5. #11331	C₂	semidirect
6. #11144	C₂	semidirect
8. #10844	C₂	semidirect
42. C₂²×D₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3077	2
C₂²×C₄×D₈	2
#21300	2
C₂×#1800	2
#11331	2
#11144	2
#11027	2
#10844	2