Subgroups — #414703

Order 512.

2080 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#474	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1988	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11049	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10832	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#474	—	2	8	no	—
12	C₂×#474	—	2	8	no	—
13	C₂×#474	—	2	8	no	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
17	#2868	—	2	8	no	—
18	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	—	2	2	no	—
20	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1988	—	2	8	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
27	#1437	—	2	2	no	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
30	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#474	—	2	64	no	—
59	C₂×#107	—	2	8	no	—
60	C₂×#107	—	2	8	no	—
61	C₂×#107	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
65	C₂×#102	—	2	8	no	—
66	C₂×#102	—	2	8	no	—
67	C₂×#102	—	2	8	no	—
68	#390	—	2	4	no	—
69	#390	Q₈	1	8	yes	complemented
70	#384	—	2	16	no	—
71	#384	—	2	16	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
74	C₂×#95	—	2	4	no	—
75	C₂×#95	—	2	1	no	—
76	C₄³	—	2	4	no	—
77	#340	—	2	16	no	—
78	#336	—	2	8	no	—
79	C₂⁵	—	2	1	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
81	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
82	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
83	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
84	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
114	C₄×D₄	—	2	16	no	—
115	C₄×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄²	D₈	1	8	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	#107	—	2	32	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
159	#102	—	2	32	no	—
160	#95	—	4	2	no	—
161	#95	—	4	8	no	—
162	C₂⁴	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	—	4	1	no	—
165	C₂⁴	—	4	1	no	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	—	4	2	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	4	no	—
170	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
173	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
174	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
175	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	2	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	complemented
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
212	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	2	16	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
247	C₄²	—	2	16	no	—
248	C₄²	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	2	8	no	—
250	C₄²	—	2	16	no	—
251	C₄²	—	8	4	no	—
252	C₄²	#120	1	8	yes	—
253	C₄²	#121	1	8	yes	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	4	8	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	8	1	no	—
264	C₂³	—	8	1	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	4	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#536	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
278	Q₈	—	8	32	no	—
279	D₄	—	2	8	no	—
280	D₄	—	4	8	no	—
281	D₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	1	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	1	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	—	8	16	no	—
307	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	#459	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	#474	1	16	yes	complemented
312	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
325	C₈	—	4	8	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	8	4	no	—
329	C₂²	—	8	4	no	—
330	C₂²	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	8	2	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	8	no	—
334	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2409	1	2	yes	—
336	C₂²	#2542	1	2	yes	—
337	C₂²	#2621	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#447	1	2	yes	—
340	C₂²	#3004	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂×#459	1	2	yes	—
342	C₂²	#3039	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂×#474	1	4	yes	—
344	C₂²	#3079	1	4	yes	—
345	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3152	1	2	yes	—
348	C₂²	#3226	1	4	yes	—
349	C₂²	#3239	1	4	yes	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	16	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	8	8	no	—
355	C₄	#2011	1	8	yes	—
356	C₄	#2429	1	4	yes	—
357	C₄	#2432	1	2	yes	—
358	C₄	#2434	1	2	yes	—
359	C₂	—	8	4	no	—
360	C₂	#15178	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×#2011	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#23432	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#24298	1	4	yes	—
364	C₂	#28508	1	2	yes	—
365	C₂	#28520	1	2	yes	—
366	C₂	#29864	1	2	yes	—
367	C₂	#33195	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2868	C₂	semidirect
3. C₂×#1988	C₂	semidirect
5. #11324	C₂	semidirect
7. #10832	C₂	semidirect
69. #390	Q₈	semidirect
186. C₂×D₄	C₄⋊Q₈	semidirect
311. C₂×C₄	#474	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#474	2
C₂×#2868	2
C₂×#1988	2
C₄×#390	2
#11324	2
#11049	2
#10832	2