Subgroups — #414717

Order 512.

1596 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3077	C₂	1	2	yes	maximal
2	#35173	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1995	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13785	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11342	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11054	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3077	—	2	8	no	—
11	#3077	—	2	8	no	—
12	C₂×#478	—	2	4	no	—
13	C₂×#476	—	2	2	no	—
14	C₂×#474	—	2	2	no	—
15	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	#2857	—	2	2	no	—
19	#2659	—	2	2	no	—
20	#2584	—	2	4	no	—
21	#2567	—	2	2	no	—
22	#2546	—	2	2	no	—
23	#2316	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1995	—	2	8	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
30	#1437	—	2	2	no	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
36	#533	—	2	4	no	—
37	#533	—	2	4	no	—
38	#533	—	2	4	no	—
39	#533	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×#125	D₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#478	—	2	32	no	—
62	#476	—	2	16	no	—
63	#474	—	2	16	no	—
64	#428	—	2	8	no	—
65	#428	—	2	8	no	—
66	C₂×#107	—	2	4	no	—
67	C₂×#106	—	2	4	no	—
68	#423	—	2	4	no	—
69	#423	D₄	1	8	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	#418	—	2	8	no	—
73	#418	—	2	8	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	#398	—	2	8	no	—
77	#395	—	2	8	no	—
78	#391	—	2	4	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#390	Q₈	1	8	yes	complemented
81	#389	—	2	8	no	—
82	#389	—	2	8	no	—
83	#389	—	2	8	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#380	—	2	8	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	#376	—	2	4	no	—
89	C₂×#95	—	2	1	no	—
90	C₂×#95	—	2	1	no	—
91	C₂×#95	—	2	4	no	—
92	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
93	#343	—	2	8	no	—
94	#339	—	2	16	no	—
95	C₂⁵	—	2	1	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
125	#125	—	2	8	no	—
126	#125	—	2	8	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
135	C₄×D₄	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	2	8	no	—
137	C₄×D₄	—	4	4	no	—
138	C₄×D₄	—	4	4	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
180	#107	—	2	16	no	—
181	#106	—	2	16	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
184	#102	—	2	16	no	—
185	#102	—	2	16	no	—
186	#95	—	2	16	no	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	#95	—	4	2	no	—
189	#95	—	4	2	no	—
190	#95	—	8	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	2	no	—
192	C₂⁴	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	—	4	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	2	no	—
196	C₂⁴	—	4	1	no	—
197	C₂⁴	—	4	1	no	—
198	C₂⁴	—	4	2	no	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	complemented
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
240	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
255	M₁₆	—	2	16	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	4	4	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	4	4	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₄²	—	8	2	no	—
285	C₄²	#120	1	4	yes	—
286	C₄²	#120	1	4	yes	—
287	C₄²	#121	1	4	yes	—
288	C₄²	#121	1	4	yes	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	4	no	—
304	C₂³	—	8	4	no	—
305	C₂³	—	8	1	no	—
306	C₂³	—	8	1	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	#536	1	2	yes	—
313	Q₈	—	8	8	no	—
314	Q₈	—	8	8	no	—
315	D₄	—	2	8	no	—
316	D₄	—	4	8	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	16	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
363	C₈	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	2	1	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	4	8	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	8	8	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2409	1	2	yes	—
382	C₂²	#2542	1	2	yes	—
383	C₂²	#2621	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#3019	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#3020	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#3021	1	2	yes	—
388	C₄	—	2	4	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	4	8	no	—
392	C₄	—	8	4	no	—
393	C₄	—	8	2	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	—	8	4	no	—
396	C₄	#2429	1	4	yes	—
397	C₄	#2432	1	2	yes	—
398	C₄	#2434	1	2	yes	—
399	C₂	—	2	2	no	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	—	2	1	no	—
402	C₂	—	8	4	no	—
403	C₂	#15178	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#23407	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#23409	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#24316	1	2	yes	—
407	C₂	#24317	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #35173	C₂	semidirect
3. C₂×#1995	C₂	semidirect
5. #11342	C₂	semidirect
7. #10847	C₂	semidirect
80. #390	Q₈	semidirect
215. C₂×D₄	C₄⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3077	2
#35173	2
C₂×#1995	2
#13785	2
#11342	2
#11054	2
#10847	2