Subgroups — #414752

Order 512.

2052 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2857	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1990	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11327	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11095	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#498	—	2	4	no	—
12	C₂×#498	—	2	8	no	—
13	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2857	—	2	8	no	—
18	#2857	—	2	8	no	—
19	C₂×#391	—	2	2	no	—
20	C₂×#389	—	2	2	no	—
21	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#380	—	2	2	no	—
24	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
25	#1990	—	2	8	no	—
26	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
27	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
31	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#498	—	2	32	no	—
59	C₂×#106	—	2	8	no	—
60	C₂×#106	—	2	16	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
68	#391	—	2	16	no	—
69	#389	—	2	16	no	—
70	#389	—	2	8	no	—
71	#389	—	2	8	no	—
72	#384	—	2	4	no	—
73	#384	D₄	1	8	yes	—
74	#380	—	2	16	no	—
75	#380	—	2	8	no	—
76	#380	—	2	8	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	—	2	4	no	—
79	#340	—	2	8	no	—
80	#340	—	2	16	no	—
81	#336	—	2	4	no	—
82	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
84	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
85	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	SD₁₆	1	8	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	4	64	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
164	#106	—	2	32	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
166	C₄×C₈	—	2	8	no	—
167	C₄×C₈	—	4	4	no	—
168	#95	—	2	16	no	—
169	#95	—	2	16	no	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	1	no	—
172	C₂⁴	—	2	1	no	—
173	C₂⁴	—	2	2	no	—
174	C₂⁴	—	2	2	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
183	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
185	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
186	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	complemented
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
266	C₄²	—	4	1	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₄²	—	4	1	no	—
269	C₄²	—	4	8	no	—
270	C₄²	#120	1	4	yes	—
271	C₄²	#121	1	8	yes	—
272	C₄²	#127	1	4	yes	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	4	1	no	—
284	C₂³	—	4	1	no	—
285	C₂³	—	4	1	no	—
286	C₂³	—	4	1	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	#498	1	4	yes	complemented
294	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	#536	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
303	Q₈	—	8	32	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	32	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	#392	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	#448	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	#449	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	#450	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	#452	1	8	yes	—
339	C₂×C₄	#465	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	#468	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
352	C₈	—	2	8	no	—
353	C₈	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2432	1	2	yes	—
365	C₂²	#2434	1	2	yes	—
366	C₂²	#2621	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#450	1	2	yes	—
369	C₂²	C₂×#448	1	2	yes	—
370	C₂²	C₂×#449	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂×#452	1	2	yes	—
372	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#468	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂×#498	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3160	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#3165	1	2	yes	—
377	C₂²	#3167	1	2	yes	—
378	C₂²	#3184	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#3185	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#3227	1	2	yes	—
381	C₂²	#3228	1	2	yes	—
382	C₂²	#3229	1	2	yes	—
383	C₂²	#3231	1	2	yes	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	8	8	no	—
387	C₄	—	8	8	no	—
388	C₄	#2000	1	16	yes	—
389	C₄	#2409	1	2	yes	—
390	C₄	#2429	1	4	yes	—
391	C₄	#2542	1	2	yes	—
392	C₂	—	4	4	no	—
393	C₂	#15178	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂×#2000	1	2	yes	—
395	C₂	#25671	1	2	yes	—
396	C₂	#25672	1	2	yes	—
397	C₂	#25811	1	2	yes	—
398	C₂	#25812	1	2	yes	—
399	C₂	#29877	1	2	yes	—
400	C₂	#33207	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#33210	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#498	C₂	semidirect
3. C₂×#1990	C₂	semidirect
5. #11327	C₂	semidirect
7. #10841	C₂	semidirect
63. C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	semidirect
254. C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	semidirect
293. C₂³	#498	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#498	2
C₂×#2857	2
C₂×#1990	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
#11327	2
#11095	2
#10841	2