Subgroups — #414756

Order 512.

1646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2628	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1993	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1750	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11328	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11096	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#500	—	2	4	no	—
11	C₂×#500	—	2	8	no	—
12	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2628	—	2	8	no	—
17	#2628	—	2	8	no	—
18	C₂×#400	—	2	2	no	—
19	C₂×#399	—	2	2	no	—
20	C₂×#395	—	2	2	no	—
21	C₂×#393	—	2	2	no	—
22	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
25	#1993	—	2	8	no	—
26	#1750	—	2	4	no	—
27	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	—
40	C₂×#117	—	2	4	no	—
41	C₂×#117	—	2	4	no	—
42	C₂×#117	—	2	2	no	—
43	C₂×#117	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#500	—	2	32	no	—
56	C₂×#107	—	2	8	no	—
57	C₂×#107	—	2	16	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
61	C₂×#97	—	2	4	no	—
62	C₂×#97	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
65	#400	—	2	16	no	—
66	#399	—	2	16	no	—
67	#395	—	2	16	no	—
68	#393	—	2	16	no	—
69	#389	—	2	8	no	—
70	#389	—	2	8	no	—
71	#382	—	2	4	no	—
72	#382	D₄	1	8	yes	—
73	#380	—	2	8	no	—
74	#380	—	2	8	no	—
75	C₂×#95	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	—	2	4	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	#340	—	2	8	no	—
80	#340	—	2	16	no	—
81	#336	—	2	4	no	—
82	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
84	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
85	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	8	8	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
116	#117	—	4	4	no	—
117	#117	—	4	8	no	—
118	#117	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
152	#107	—	2	32	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
154	#97	—	4	4	no	—
155	C₄×C₈	—	2	8	no	—
156	#95	—	2	16	no	—
157	#95	—	2	16	no	—
158	#95	—	2	8	no	—
159	#95	—	2	8	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	1	no	—
162	C₂⁴	—	2	1	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
167	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
169	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
170	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
171	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
236	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
240	C₄²	—	4	1	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	1	no	—
243	C₄²	#120	1	4	yes	—
244	C₄²	#121	1	8	yes	—
245	C₄²	#127	1	4	yes	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	8	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	4	1	no	—
250	C₂³	—	4	1	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	8	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
259	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	#536	1	2	yes	—
263	C₂³	#576	1	4	yes	—
264	C₂³	#578	1	4	yes	—
265	Q₈	—	8	32	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	8	no	—
291	C₂×C₄	—	8	8	no	—
292	C₂×C₄	—	8	8	no	—
293	C₂×C₄	—	8	8	no	—
294	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
307	C₈	—	2	8	no	—
308	C₈	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	8	4	no	—
313	C₂²	—	8	1	no	—
314	C₂²	—	8	1	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#2432	1	2	yes	—
318	C₂²	#2434	1	2	yes	—
319	C₂²	#2621	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#3008	1	4	yes	—
322	C₂²	#3011	1	4	yes	—
323	C₂²	#3058	1	2	yes	—
324	C₂²	#3059	1	2	yes	—
325	C₂²	#3164	1	4	yes	—
326	C₂²	#3175	1	4	yes	—
327	C₂²	#3243	1	8	yes	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	8	8	no	—
332	C₄	—	8	1	no	—
333	C₄	—	8	8	no	—
334	C₄	—	8	1	no	—
335	C₄	#2409	1	2	yes	—
336	C₄	#2429	1	4	yes	—
337	C₄	#2542	1	2	yes	—
338	C₂	—	8	2	no	—
339	C₂	#15178	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#23387	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#23389	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#25681	1	4	yes	—
343	C₂	#25821	1	4	yes	—
344	C₂	#29880	1	2	yes	—
345	C₂	#33215	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#500	C₂	semidirect
3. C₂×#1993	C₂	semidirect
5. #11328	C₂	semidirect
7. #10842	C₂	semidirect
60. C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×#2628	2
C₂×#1993	2
C₂×#1750	2
#11328	2
#11096	2
#10842	2