Subgroups — #414762

Order 512.

1358 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3080	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1998	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11330	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11107	C₂	1	2	yes	maximal
8	#11106	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#499	—	2	2	no	—
13	C₂×#499	—	2	2	no	—
14	C₂×#499	—	2	8	no	—
15	#3080	—	2	8	no	—
16	#3080	—	2	8	no	—
17	C₂×#479	—	2	4	no	—
18	C₂×#478	—	2	4	no	—
19	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1998	—	2	8	no	—
29	#1750	—	2	2	no	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
35	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#125	—	2	4	no	—
44	C₂×#125	—	2	4	no	—
45	C₂×#125	—	2	4	no	—
46	C₂×#125	—	2	4	no	—
47	C₂×#125	—	2	2	no	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₂×#125	D₄	1	8	yes	—
50	C₄×#41	—	2	4	no	—
51	C₄×#41	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×#117	—	2	1	no	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#499	—	2	16	no	—
62	#499	—	2	16	no	—
63	#479	—	2	32	no	—
64	#478	—	2	32	no	—
65	#428	—	2	8	no	—
66	#428	—	2	8	no	—
67	C₂×#107	—	2	4	no	—
68	C₂×#107	—	2	4	no	—
69	C₂×#107	—	2	8	no	—
70	C₂×#106	—	2	4	no	—
71	C₂×#106	—	2	4	no	—
72	C₂×#106	—	2	8	no	—
73	#423	—	2	4	no	—
74	#423	D₄	1	8	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
76	#417	—	2	8	no	—
77	#417	—	2	8	no	—
78	C₂×#103	—	2	4	no	—
79	C₂×#102	—	2	4	no	—
80	#408	—	2	2	no	—
81	#408	—	2	2	no	—
82	#408	Q₈	1	4	yes	—
83	#408	Q₈	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
92	#343	—	2	8	no	—
93	#343	—	2	8	no	—
94	#341	—	2	4	no	—
95	#341	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	1	no	—
99	C₂×#41	—	2	1	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
141	#125	—	2	16	no	—
142	#125	—	2	8	no	—
143	#125	—	2	8	no	—
144	#125	—	4	8	no	—
145	#125	—	4	4	no	—
146	#125	—	4	4	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄×D₄	—	2	8	no	—
149	C₄×D₄	—	4	8	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	4	2	no	—
153	#117	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	#107	—	2	16	no	—
178	#107	—	2	16	no	—
179	#106	—	2	16	no	—
180	#106	—	2	16	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
182	#103	—	2	16	no	—
183	#102	—	2	16	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
186	#97	—	4	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	4	no	—
189	C₄×C₈	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	—	2	1	no	—
191	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	4	2	no	—
197	#41	—	4	2	no	—
198	#41	—	4	2	no	—
199	#41	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	1	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
227	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
240	M₁₆	—	2	8	no	—
241	M₁₆	—	2	8	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	2	4	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	4	2	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄²	—	4	1	no	—
278	C₄²	—	4	1	no	—
279	C₄²	—	4	4	no	—
280	C₄²	#120	1	2	yes	—
281	C₄²	#120	1	2	yes	—
282	C₄²	#120	1	8	yes	—
283	C₄²	#127	1	2	yes	—
284	C₄²	#127	1	2	yes	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	4	1	no	—
288	C₂³	—	4	1	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	#541	1	2	yes	—
295	Q₈	—	2	4	no	—
296	Q₈	—	4	2	no	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	8	no	—
315	C₂×C₄	—	8	8	no	—
316	C₂×C₄	—	8	8	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	4	8	no	—
341	C₈	—	4	2	no	—
342	C₈	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	8	2	no	—
350	C₂²	—	8	2	no	—
351	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2429	1	2	yes	—
353	C₂²	#2429	1	2	yes	—
354	C₂²	#2621	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#3067	1	4	yes	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	8	2	no	—
361	C₄	—	8	8	no	—
362	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2432	1	2	yes	—
365	C₄	#2434	1	2	yes	—
366	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
368	C₂	—	2	2	no	—
369	C₂	—	2	2	no	—
370	C₂	—	8	2	no	—
371	C₂	#15178	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#23438	1	2	yes	—
373	C₂	#29888	1	2	yes	—
374	C₂	#33221	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#499	C₂	semidirect
3. C₂×#1998	C₂	semidirect
5. #11331	C₂	semidirect
6. #11330	C₂	semidirect
9. #10844	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#499	2
C₂×#3080	2
C₂×#1998	2
C₄×#408	2
#11331	2
#11330	2
#11107	2
#11106	2
#10844	2