Subgroups — #414912

Order 512.

1412 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1990	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#14714	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11256	C₂	1	4	yes	maximal
6	#11232	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#500	—	2	4	no	—
10	C₂×#500	—	2	8	no	—
11	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#391	—	2	2	no	—
16	C₂×#391	—	2	2	no	—
17	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1990	—	2	8	no	—
20	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
21	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
25	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
26	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
29	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#500	—	2	32	no	—
50	C₂×#107	—	2	8	no	—
51	C₂×#107	—	2	16	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
55	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
59	#391	—	4	8	no	—
60	#391	—	4	8	no	—
61	#384	—	2	4	no	—
62	#384	—	2	4	no	—
63	C₂×#95	—	2	4	no	—
64	C₂×#95	—	2	4	no	—
65	C₂×#95	—	2	4	no	—
66	C₂×#95	—	2	4	no	—
67	C₄³	—	2	2	no	—
68	C₄³	—	2	2	no	—
69	#340	—	2	8	no	—
70	#340	—	2	16	no	—
71	#336	—	2	4	no	—
72	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
74	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
76	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
77	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
78	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
98	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	D₈	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	Q₁₆	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
142	#107	—	2	32	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
144	C₄×C₈	—	2	8	no	—
145	C₄×C₈	—	4	4	no	—
146	#95	—	4	8	no	—
147	#95	—	4	8	no	—
148	#95	—	4	8	no	—
149	#95	—	4	8	no	—
150	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
153	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
154	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
155	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
156	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
157	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	8	no	—
214	C₂×C₈	—	2	8	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	8	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	4	no	—
220	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
221	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
230	C₄²	—	2	4	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	8	no	—
233	C₄²	—	2	8	no	—
234	C₄²	—	4	2	no	—
235	C₄²	—	4	2	no	—
236	C₄²	—	4	4	no	—
237	C₄²	—	4	4	no	—
238	C₄²	#120	1	4	yes	—
239	C₄²	#123	1	8	yes	—
240	C₄²	#124	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	#536	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
251	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
252	Q₈	—	8	32	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#459	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	#462	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	#463	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	#464	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	#467	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	#469	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	#470	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	#500	1	4	yes	complemented
299	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#557	1	4	yes	—
310	C₈	—	2	8	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#2545	1	2	yes	—
314	C₂²	#2546	1	2	yes	—
315	C₂²	#2621	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×#459	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×#463	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂×#462	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×#464	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#470	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#500	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#3160	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#3165	1	2	yes	—
328	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#3170	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#3182	1	2	yes	—
331	C₂²	#3226	1	2	yes	—
332	C₂²	#3228	1	2	yes	—
333	C₂²	#3230	1	2	yes	—
334	C₂²	#3231	1	2	yes	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	8	8	no	—
340	C₄	—	16	4	no	—
341	C₄	#2054	1	8	yes	—
342	C₄	#2056	1	8	yes	—
343	C₄	#2409	1	2	yes	—
344	C₄	#2446	1	4	yes	—
345	C₄	#2568	1	2	yes	—
346	C₂	#15180	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#2054	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂×#2056	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#28655	1	2	yes	—
350	C₂	#28656	1	2	yes	—
351	C₂	#28688	1	2	yes	—
352	C₂	#28689	1	2	yes	—
353	C₂	#29876	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#29878	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#33209	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33212	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
54. C₂×C₄⋊C₈	Q₈	semidirect
298. C₂×C₄	#500	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×#1990	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
#14714	2
#11256	2
#11232	2
#10841	2