Subgroups — #415050

Order 512.

1260 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 434 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20649	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₄×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#14709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11217	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11113	C₂	1	4	yes	maximal
9	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2851	—	2	2	no	—
18	#2629	—	2	2	no	—
19	#2579	—	2	4	no	—
20	#2566	—	2	2	no	—
21	#2565	—	2	2	no	—
22	#2317	C₂²	1	2	yes	—
23	#2311	C₂²	1	2	yes	—
24	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1998	—	2	4	no	—
28	#1847	—	2	2	no	—
29	#1846	—	2	2	no	—
30	#1805	—	2	2	no	—
31	#1804	—	2	2	no	—
32	C₄×#104	—	2	4	no	—
33	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
34	#1736	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	#1436	—	2	4	no	—
38	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#125	—	2	2	no	—
43	C₂×#125	—	2	1	no	—
44	C₂×#125	—	2	1	no	—
45	C₂×#125	—	2	2	no	—
46	C₂×#125	—	2	2	no	—
47	C₂×#125	—	2	2	no	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₄×#41	—	2	2	no	—
50	C₄×#41	—	2	2	no	—
51	C₄×#41	—	2	2	no	—
52	C₄×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×#117	—	2	1	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#428	—	2	8	no	—
67	#428	—	4	4	no	—
68	C₂×#107	—	2	4	no	—
69	C₂×#106	—	2	4	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×#104	—	2	4	no	—
74	C₂×#104	—	2	4	no	—
75	C₂×#104	Q₈	1	8	yes	—
76	#417	—	4	4	no	—
77	C₂×#103	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×#97	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
83	#398	—	2	8	no	—
84	#396	—	2	8	no	—
85	#391	—	2	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#389	—	2	4	no	—
88	#387	—	2	8	no	—
89	#386	—	2	4	no	—
90	#385	—	2	8	no	—
91	#385	—	2	4	no	—
92	#384	—	2	2	no	—
93	#384	D₄	1	2	yes	—
94	#382	—	2	2	no	—
95	#382	—	2	2	no	—
96	#382	—	2	1	no	—
97	#382	—	2	1	no	—
98	#382	D₄	1	2	yes	—
99	#380	—	2	2	no	—
100	#380	—	2	4	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×#95	—	2	8	no	—
103	C₂×#95	—	2	2	no	—
104	C₄³	—	2	2	no	—
105	C₄³	—	2	2	no	—
106	#343	—	2	8	no	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	#339	—	2	4	no	—
109	#339	—	4	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	1	no	—
112	C₂×#41	—	2	1	no	—
113	C₂×#41	—	2	1	no	—
114	C₂×#41	—	2	1	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	#125	—	4	2	no	—
141	#125	—	4	2	no	—
142	#125	—	4	4	no	—
143	#125	—	4	4	no	—
144	#125	—	4	2	no	—
145	#125	—	4	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	4	4	no	—
151	C₄×D₄	—	4	4	no	—
152	#117	—	2	1	no	—
153	#117	—	2	1	no	—
154	#117	—	2	1	no	—
155	#117	—	2	1	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	4	2	no	—
159	#117	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
200	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
203	#107	—	4	8	no	—
204	#106	—	4	8	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
206	#104	—	2	16	no	—
207	#103	—	4	4	no	—
208	#102	—	4	4	no	—
209	#97	—	2	4	no	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	#95	—	2	8	no	—
212	#95	—	2	8	no	—
213	#95	—	2	4	no	—
214	#95	—	4	16	no	—
215	#95	—	4	2	no	—
216	#95	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	—	2	1	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
232	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	1	no	—
235	C₂×D₄	—	2	1	no	—
236	C₂×D₄	—	2	1	no	—
237	C₂×D₄	—	2	1	no	—
238	C₂×D₄	—	2	1	no	—
239	C₂×D₄	—	4	1	no	—
240	C₂×D₄	—	4	1	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
279	M₁₆	—	2	4	no	—
280	M₁₆	—	2	4	no	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	—	4	4	no	—
283	M₁₆	—	4	4	no	—
284	M₁₆	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	4	16	no	—
315	C₄²	—	4	1	no	—
316	C₄²	—	4	1	no	—
317	C₄²	—	4	2	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₄²	—	4	4	no	—
322	C₄²	#121	1	2	yes	—
323	C₄²	#121	1	2	yes	—
324	C₄²	#121	1	4	yes	—
325	C₄²	#123	1	4	yes	—
326	C₄²	#124	1	2	yes	—
327	C₄²	#124	1	2	yes	—
328	C₂³	—	2	4	no	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	4	1	no	—
331	C₂³	—	4	1	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
335	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
337	C₂³	#550	1	2	yes	—
338	Q₈	—	2	2	no	—
339	Q₈	—	2	2	no	—
340	Q₈	—	4	1	no	—
341	Q₈	—	4	1	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	2	2	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	4	1	no	—
347	D₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	8	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	1	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	8	no	—
371	C₂×C₄	—	8	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	8	no	—
373	C₂×C₄	—	8	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
395	C₈	—	2	8	no	—
396	C₈	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	2	4	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	2	2	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	4	2	no	—
403	C₂²	—	4	4	no	—
404	C₂²	—	8	2	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#2423	1	2	yes	—
408	C₂²	#2431	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#2538	1	2	yes	—
411	C₂²	#3018	1	4	yes	—
412	C₄	—	2	4	no	—
413	C₄	—	2	4	no	—
414	C₄	—	4	8	no	—
415	C₄	—	4	2	no	—
416	C₄	—	8	4	no	—
417	C₄	—	8	4	no	—
418	C₄	—	8	2	no	—
419	C₄	—	16	2	no	—
420	C₄	#2417	1	2	yes	—
421	C₄	#2492	1	2	yes	—
422	C₄	#2499	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#2620	1	1	yes	characteristic
425	C₄	#2857	1	1	yes	characteristic
426	C₂	—	2	2	no	—
427	C₂	—	2	2	no	—
428	C₂	—	8	2	no	—
429	C₂	#15182	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#23492	1	2	yes	—
431	C₂	#25617	1	2	yes	—
432	C₂	#25831	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1998	C₂	semidirect
3. #20801	C₂	semidirect
6. #14709	C₂	semidirect
7. #11217	C₂	semidirect
9. #10839	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35333	2
C₂×#1998	2
#20801	2
#20649	2
C₂×C₄×#104	2
#14709	2
#11217	2
#11113	2
#10839	2