Subgroups — #415054

Order 512.

1124 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3080	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20649	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11249	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11105	C₂	1	4	yes	maximal
9	#10858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3080	—	2	4	no	—
13	#3080	—	2	4	no	—
14	C₂×#479	—	2	2	no	—
15	C₂×#478	—	2	2	no	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1998	—	2	4	no	—
27	#1991	—	2	2	no	—
28	#1991	—	2	2	no	—
29	#1848	—	2	4	no	—
30	#1805	—	2	2	no	—
31	#1804	—	2	2	no	—
32	#1750	—	2	2	no	—
33	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
36	#1736	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
38	#1729	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#125	—	2	2	no	—
45	C₂×#125	—	2	2	no	—
46	C₂×#125	—	2	1	no	—
47	C₂×#125	—	2	1	no	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₂×#125	—	2	2	no	—
50	C₂×#125	D₄	1	4	yes	—
51	C₄×#41	—	2	2	no	—
52	C₄×#41	—	2	2	no	—
53	C₄×#41	—	2	2	no	—
54	C₄×#41	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×#117	—	2	1	no	—
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#479	—	2	16	no	—
66	#478	—	2	16	no	—
67	C₂×#108	—	2	8	no	—
68	C₂×#108	—	2	8	no	—
69	C₂×#108	—	4	4	no	—
70	#428	—	2	4	no	—
71	#428	—	2	4	no	—
72	C₂×#107	—	2	2	no	—
73	C₂×#106	—	2	2	no	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	#423	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	#417	—	2	4	no	—
81	#417	—	2	4	no	—
82	#417	—	4	4	no	—
83	C₂×#103	—	2	2	no	—
84	C₂×#103	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	#408	—	2	4	no	—
88	#408	Q₈	1	8	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×#97	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
98	#382	—	2	2	no	—
99	#382	—	2	1	no	—
100	#382	—	2	1	no	—
101	C₂×#95	—	2	2	no	—
102	#343	—	2	8	no	—
103	#343	—	4	4	no	—
104	#340	—	2	8	no	—
105	#340	—	2	4	no	—
106	#336	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	1	no	—
109	C₂×#41	—	2	1	no	—
110	C₂×#41	—	2	1	no	—
111	C₂×#41	—	2	1	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
148	#125	—	2	8	no	—
149	#125	—	2	4	no	—
150	#125	—	2	4	no	—
151	#125	—	4	2	no	—
152	#125	—	4	2	no	—
153	#125	—	4	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	4	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	#117	—	2	1	no	—
161	#117	—	2	1	no	—
162	#117	—	2	1	no	—
163	#117	—	2	1	no	—
164	#117	—	4	2	no	—
165	#117	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
195	#108	—	4	16	no	—
196	#107	—	2	8	no	—
197	#106	—	2	8	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
199	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
200	#103	—	2	8	no	—
201	#103	—	4	4	no	—
202	#102	—	2	8	no	—
203	#102	—	4	4	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
205	#97	—	4	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	4	no	—
207	C₄×C₈	—	2	4	no	—
208	C₄×C₈	—	4	2	no	—
209	#95	—	4	2	no	—
210	#95	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	2	1	no	—
212	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	#41	—	2	4	no	—
214	#41	—	2	4	no	—
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	4	2	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
226	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	1	no	—
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	1	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	4	1	no	—
234	C₂×D₄	—	4	1	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
253	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
267	M₁₆	—	2	8	no	—
268	M₁₆	—	2	4	no	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	M₁₆	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₄²	—	4	1	no	—
307	C₄²	—	4	1	no	—
308	C₄²	—	4	4	no	—
309	C₄²	#120	1	4	yes	—
310	C₄²	#121	1	2	yes	—
311	C₄²	#121	1	2	yes	—
312	C₄²	#121	1	2	yes	—
313	C₄²	#121	1	2	yes	—
314	C₄²	#123	1	4	yes	—
315	C₂³	—	2	4	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	4	1	no	—
318	C₂³	—	4	1	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	#533	1	2	yes	—
324	C₂³	#542	1	2	yes	—
325	Q₈	—	2	2	no	—
326	Q₈	—	2	2	no	—
327	Q₈	—	4	1	no	—
328	Q₈	—	4	1	no	—
329	D₄	—	2	2	no	—
330	D₄	—	2	2	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	4	1	no	—
334	D₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	8	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	16	4	no	—
354	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	8	no	—
375	C₈	—	4	4	no	—
376	C₈	—	4	4	no	—
377	C₈	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2423	1	2	yes	—
388	C₂²	#2492	1	2	yes	—
389	C₂²	#2620	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3067	1	4	yes	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	4	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	8	2	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	—	16	2	no	—
398	C₄	#2417	1	2	yes	—
399	C₄	#2431	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2499	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#2538	1	2	yes	—
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	8	2	no	—
407	C₂	#15182	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#23530	1	2	yes	—
409	C₂	#29860	1	2	yes	—
410	C₂	#33221	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1998	C₂	semidirect
3. C₂×#1991	C₂	semidirect
4. C₂×#1848	C₂	semidirect
7. #11249	C₂	semidirect
9. #10858	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3080	2
C₂×#1998	2
C₂×#1991	2
C₂×#1848	2
#20649	2
C₄×#408	2
#11249	2
#11105	2
#10858	2