Subgroups — #415159

Order 512.

958 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1997	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11249	C₂	1	4	yes	maximal
8	#11242	C₂	1	4	yes	maximal
9	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1997	—	2	4	no	—
21	#1990	—	2	2	no	—
22	#1990	—	2	2	no	—
23	#1988	—	2	1	no	—
24	#1988	—	2	1	no	—
25	#1987	—	2	1	no	—
26	#1987	—	2	1	no	—
27	#1948	—	2	1	no	—
28	#1948	—	2	1	no	—
29	#1947	—	2	1	no	—
30	#1947	—	2	1	no	—
31	#1848	—	2	4	no	—
32	#1768	—	2	2	no	—
33	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
36	#1736	C₂²	1	2	yes	—
37	#1736	C₂²	1	2	yes	—
38	#1736	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
40	#1729	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	4	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#108	—	2	8	no	—
63	C₂×#108	—	2	8	no	—
64	C₂×#108	—	4	4	no	—
65	#428	—	4	4	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#106	—	2	2	no	—
68	#424	—	2	4	no	—
69	#424	Q₈	1	8	yes	complemented
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	#384	—	2	1	no	—
88	#384	—	2	1	no	—
89	#384	—	2	1	no	—
90	#384	—	2	1	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
97	#376	—	2	1	no	—
98	C₄³	—	2	1	no	—
99	#343	—	2	8	no	—
100	#343	—	4	4	no	—
101	#340	—	2	8	no	—
102	#340	—	2	2	no	—
103	#340	—	2	2	no	—
104	#340	—	2	2	no	—
105	#340	—	2	2	no	—
106	#340	—	2	2	no	—
107	#340	—	2	2	no	—
108	#336	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
196	#108	—	4	16	no	—
197	#107	—	4	4	no	—
198	#106	—	4	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
204	#97	—	4	2	no	—
205	C₄×C₈	—	2	4	no	—
206	C₄×C₈	—	2	4	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	#95	—	2	1	no	—
209	#95	—	2	1	no	—
210	#95	—	2	1	no	—
211	#95	—	2	1	no	—
212	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
238	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	2	4	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
299	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	#121	1	2	yes	—
310	C₄²	#121	1	2	yes	—
311	C₄²	#121	1	2	yes	—
312	C₄²	#121	1	2	yes	—
313	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
317	C₂³	—	2	1	no	—
318	C₂³	—	2	1	no	—
319	C₂³	—	2	1	no	—
320	C₂³	—	2	1	no	—
321	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	#533	1	2	yes	—
325	C₂³	#542	1	2	yes	—
326	Q₈	—	8	8	no	—
327	Q₈	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	16	4	no	—
357	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#396	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#471	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#471	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#472	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#473	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
383	C₈	—	2	8	no	—
384	C₈	—	4	4	no	—
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₈	—	8	2	no	—
387	C₂²	—	2	1	no	—
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	1	no	—
390	C₂²	—	2	1	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	C₂×#396	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2451	1	2	yes	—
397	C₂²	#2511	1	2	yes	—
398	C₂²	#2620	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×#471	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	C₂×#471	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#473	1	1	yes	characteristic
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	—	8	1	no	—
410	C₄	—	8	1	no	—
411	C₄	—	16	2	no	—
412	C₄	#2063	1	4	yes	—
413	C₄	#2064	1	4	yes	—
414	C₄	#2417	1	2	yes	—
415	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#2546	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2565	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#2582	1	2	yes	—
420	C₂	—	2	2	no	—
421	C₂	—	2	2	no	—
422	C₂	#15184	1	1	yes	characteristic
423	C₂	C₂×#2063	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#2064	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#29858	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#29859	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#33220	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#33222	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
69. #424	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1997	2
C₂×#1990	2
#21313	2
#21171	2
C₂×#1848	2
C₄×#424	2
#11249	2
#11242	2
#10857	2