Subgroups — #415321

Order 512.

1554 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2584	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1989	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11328	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11328	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11327	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₄×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#499	—	2	4	no	—
12	C₂×#499	—	2	8	no	—
13	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2584	—	2	8	no	—
19	#2584	—	2	8	no	—
20	C₂×#398	—	2	2	no	—
21	C₂×#395	—	2	2	no	—
22	C₂×#389	—	2	4	no	—
23	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	#1989	—	2	8	no	—
27	#1984	—	2	4	no	—
28	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#125	—	2	4	no	—
39	C₂×#125	—	2	4	no	—
40	C₂×#125	—	2	4	no	—
41	C₂×#125	—	2	4	no	—
42	C₂×#125	—	2	4	no	—
43	C₂×#125	D₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#499	—	2	32	no	—
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	—	2	4	no	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	C₂×#106	—	2	4	no	—
67	C₂×#106	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
72	#398	—	2	16	no	—
73	#395	—	2	16	no	—
74	#389	—	2	32	no	—
75	#389	—	2	8	no	—
76	#389	—	2	8	no	—
77	#389	—	2	8	no	—
78	#389	—	2	8	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	C₂×#95	—	2	4	no	—
83	C₂×#95	—	2	4	no	—
84	#340	—	2	8	no	—
85	#340	—	2	8	no	—
86	#340	Q₈	1	8	yes	complemented
87	#340	Q₈	1	8	yes	complemented
88	#336	—	2	4	no	—
89	#336	—	2	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
114	#125	—	2	16	no	—
115	#125	—	2	16	no	—
116	#125	—	4	8	no	—
117	#125	—	4	8	no	—
118	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
119	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
120	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
166	#107	—	2	8	no	—
167	#107	—	2	8	no	—
168	#106	—	2	16	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
170	C₄×C₈	—	2	8	no	—
171	#95	—	2	16	no	—
172	#95	—	2	16	no	—
173	#95	—	2	8	no	—
174	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	8	no	—
235	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
254	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	4	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	8	8	no	—
259	C₄²	#120	1	4	yes	—
260	C₄²	#121	1	8	yes	—
261	C₄²	#127	1	4	yes	—
262	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
265	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
266	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
267	C₂³	#575	1	2	yes	—
268	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#577	1	2	yes	—
270	C₂³	#578	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	4	16	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	16	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
323	C₈	—	2	4	no	—
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	8	2	no	—
326	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2434	1	4	yes	—
328	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#3002	1	4	yes	—
331	C₂²	#3012	1	2	yes	—
332	C₂²	#3013	1	2	yes	—
333	C₂²	#3050	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3054	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3060	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3061	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3380	1	2	yes	—
338	C₂²	#3381	1	4	yes	—
339	C₂²	#3383	1	2	yes	—
340	C₂²	#3388	1	4	yes	—
341	C₂²	#3389	1	2	yes	—
342	C₂²	#3390	1	2	yes	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	4	4	no	—
346	C₄	—	4	16	no	—
347	C₄	—	8	4	no	—
348	C₄	—	8	2	no	—
349	C₄	—	8	4	no	—
350	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#2546	1	4	yes	—
353	C₄	#2658	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2868	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#15190	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#23386	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#23390	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#25842	1	4	yes	—
359	C₂	#25843	1	4	yes	—
360	C₂	#28678	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#28679	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#28680	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#28681	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
86. #340	Q₈	semidirect
87. #340	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#499	2
C₂×#2584	2
C₂×#1989	2
C₂×#1984	2
#11328	2
#11327	2
C₄×#340	2